Es divisible por .

Question

Encuentre enteros positivos$(a, b, c, d)$ tal que

$abcd-1$ es divisible por$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$.

Mis intentos:

WLOG, deja$a<b<c<d$.

Ya que $a, b, c, d \in \mathbb{Z^+}$, $abcd-1 > (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$.

Asi que $\frac{abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)} > 1$

Y$\frac{abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)} <\frac{a}{a-1}\cdot\frac{b}{b-1}\cdot\frac{c}{c-1}\cdot\frac{d}{d-1}\leq \frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4} = 5$

Entonces$\frac{abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)}= 2$ o$3$ o$4$

Por favor, sugiera cómo proceder.

Answer 1

Voy a resolver el problema bajo la condición de $1<a<b<c<d$.

Vamos a decir $S=\dfrac{abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)}$. Sabemos que $2 \leq S \leq 4$. Podemos tomar $a=x+1,b=y+1,c=z+1,d=t+1$. Por lo tanto, $1\leq x < y < z <t$ $$S=\dfrac{(x+1)(y+1)(z+1)(t+1)-1}{xyzt} = 1+ \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z+ \dfrac1t \\ + \dfrac1{xy} + \dfrac1{xz} + \dfrac1{xt}+\dfrac1{yz}+\dfrac1{yt}+\dfrac1{zt} + \dfrac1{xyz} + \dfrac1{xyt}+ \dfrac1{xzt}+\dfrac1{yzt}+\dfrac1{xyzt} \tag{1}$$

Desde $1\leq x < y < z <t$, $S < 1 + \dfrac4x + \dfrac{6}{x^2}+ \dfrac{4}{x^3}$ nos encontramos con que

$$(S-1)x^3< 4x^2 +6x + 4 \tag2$$ .

$1.$ CASO: Si ponemos $S=2$$(2)$,$x^3< 4x^2 +6x + 4$$x \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.

$1.a$ Caso: Si ponemos $x=1$ en $(1)$, $1 = 1 + \dfrac11 + \dfrac1y + \cdots$

Esta es una contradicción. No hay ninguna solución.

$1.b$ Caso: Si ponemos $x=2$ en $(1)$, $$\dfrac12 = \left(\dfrac{1}{y} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot \dfrac32 + \left(\dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{yt} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot \dfrac32 + \dfrac{1}{2yzt} \tag3$$

Desde $3\le y < z < t$, $(3)$ nos encontramos con que $\dfrac12 < \dfrac{9}{2y} + \dfrac{9}{2y^2} + \dfrac{1}{2y^3}$ y, a continuación,$y^3< 9y^2 + 9y + 1$. Por lo tanto, $y \in \{ 3,4,5,6,7,8,9 \}$

Si $y=3$ $(3)$ nos encontramos con $\dfrac12 = \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot \dfrac32 + \left(\dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{3t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot \dfrac32 + \dfrac{1}{6zt}$. Pero $LHS < RHS$ y no hay solución.

Si Si $y=4$ $(3)$ nos encontramos con $\dfrac12 = \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot \dfrac32 + \left(\dfrac{1}{4z} + \dfrac{1}{4t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot \dfrac32 + \dfrac{1}{8zt}$. Con algunos de álgebra nos rendimientos $2z=15+\dfrac{238}{2t-15}$. No hay ninguna solución.

Este sub-caso ha $y=5,6,7,8,9$ sub-casos. Usted tiene que examinar estas. Por ejemplo, el último valor de $y=9$. Por $(3)$, $\dfrac12 = \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot \dfrac32 + \left(\dfrac{1}{9z} + \dfrac{1}{9t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot \dfrac32 + \dfrac{1}{18zt}$ y nosotros los rendimientos $15zt=60(z+t) + 56$. Pero esto da una cotratiction en $\pmod {5}$. No hay ninguna solución.

$1.c$ Caso: ponemos a $x=3,S=2$$(1)$,

$1.d$ Caso: ponemos a $x=4,S=2$$(1)$,

$1.e$ Caso: ponemos a $x=5,S=2$$(1)$,

$2.$ CASO: ponemos a $S=3$$(2)$,$2x^3< 4x^2 +6x + 4$$x \in \{ 1,2,3 \}$.

$2.a$ Caso: ponemos a $x=1,S=3$$(1)$,

$2.b$ Caso: ponemos a $x=2,S=3$$(1)$,

$2.c$ Caso: ponemos a $x=3,S=3$$(1)$.

$3.$ CASO: ponemos a $S=4$$(2)$,$3x^3< 4x^2 +6x + 4$$x \in \{ 1,2 \}$. Vamos a resolver algunos sub-casos,

$3.a$ Caso: ponemos a $x=1,S=4$$(1)$. $$4 = 1+ 1+ \left(\dfrac{1}{y} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot 2 + \left(\dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{yt} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot 2 + \dfrac{1}{yzt} \tag{4}$$ Desde $2\le y < z< t$, $(4)$ rendimientos $2+ \dfrac{6}{y}+ \dfrac{6}{y^2}+\dfrac{1}{y^3}$ y, por tanto,$y \in\{ 2,3\}$.

Para $y=2$, en $(4)$: $4=1+1+\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot 2 + \left(\dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{2t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot 2 + \dfrac{1}{2zt}$ y $2zt = 6(z+t) + 3$. Esta es una contradicción en $\pmod{2}$.

Para $y=3$, en $(4)$: $4=1+1+\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot 2 + \left(\dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{3t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot 2 + \dfrac{1}{3zt}$ y ...e.t.c.

$3.b$ Caso: ponemos a $x=2,S=4$$(1)$. Nos encontramos con $$4= 1 +\dfrac12+ \left(\dfrac{1}{y} + \dfrac1z + \dfrac1t \right) \cdot \dfrac32 + \left(\dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{3t} + \dfrac{1}{zt} \right) \cdot \dfrac32 + \dfrac{1}{3zt}\tag{5}$$ También se $3\le y< z< t$ y, por tanto, $\dfrac52 + \dfrac{1}{2y}+ \dfrac{1}{2y^2}+ \dfrac{1}{y^3}$ da $5y^3<y^2+y+2$. No es $y$.

Soluciones probables pueden ser en mi unwriting de los casos. Por último añadimos $1$ todas las varibles de $(x,y,z,t)$. Que es $(a,b,c,d)=(x+1,y+1,z+1,t+1)$.

Answer 2

Solución con la condición de $a<b<c<d$ :

$a, b, c, d$ son de todos los impares o incluso todas, como ya se ha comentado por TMM ayuda a reducir el trabajo de casos.

Deje $M = \frac{abcd-1}{(b-1)(c-1)(d-1)} > \frac {abcd-acd}{(b-1)(c-1)(d-1)} = \frac {acd(b-1)}{(b-1)(c-1)(d-1)} = \frac {acd}{(c-1)(d-1)} > a$

Desde $M \in \mathbb{Z}^+$, lo $M \geq a+1$.

Deje $S = \frac {abcd-1}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)}$

$1<S \leq \frac{(2\cdot4\cdot 6\cdot 8)-1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} = 3.6...$

Desde $S \in \mathbb{Z}^+$, lo $S = 2, 3$

Encontrar el límite superior de la menor entero positivo, $a$.

Si $a \geq 5, S < \frac {abcd}{(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)} \leq \frac{5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10} =1.8...$

$1<S<1.8$ así que no hay solución en $\mathbb{Z}^+$.

Si $a = 4, S < \frac {4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} =2.03...$

$1<S<2.03$ $S = 2 = \frac {M}{a-1} = \frac {M}{4-1}$ $M = 6$

Si $a = 3, S < \frac {3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} =2.4...$

$1<S<2.4$ $S = 2 = \frac {M}{3-1}$ $M = 4$

Si $a = 2, S < \frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} =3.6...$

$1<S<3.6$ $S = 2,3 = \frac {M}{2-1}$ pero $M \geq a+1$ $M = 3$

Hay 3 casos :

Caso 1 : $a=2, M=3=\frac {2bcd-1}{(b-1)(c-1)(d-1)}$

$b=4$:$\frac{8cd-1} {3(c-1)(d-1)} = 3$, $c=9+\frac {71}{d-9}$, tenemos $d=80, c=10$

$b=6$:$\frac{12cd-1} {5(c-1)(d-1)} = 3$, $c=5+\frac {59}{3d-15}$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

$b>=8$ :$M <\frac{2\cdot8\cdot 10\cdot 12}{7\cdot 9\cdot 11} = 2.7...$ así $3=M<2.7$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

Caso 2 : $a=3, M=4=\frac {3bcd-1}{(b-1)(c-1)(d-1)}$

$b=5$ : $\frac{15cd-1} {4(c-1)(d-1)} = 4$ por lo $c=16+\frac {239}{d-16}$, tenemos d=255, c=17

$b=7$ : $\frac{21cd-1} {6(c-1)(d-1)} = 4$ por lo $c=8+\frac {167}{3d-24}$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

$b=9$ : $\frac{27cd-1} {8(c-1)(d-1)} = 4$ por lo $5c=32+\frac {859}{5d-32}$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

$b>=11$ : $M < \frac {3\cdot 11\cdot 13\cdot 15}{10\cdot 12\cdot 14} = 3.8...$ por lo $4=M<3.8$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

Caso 3 : $a=4, M=6= \frac {4bcd-1}{(b-1)(c-1)(d-1)}$

$b=6$ : $\frac{24cd-1} {5(c-1)(d-1)} = 6$ por lo $c=\frac {30d-31}{6d-30}$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

$b\geq8$ : $M < \frac {4\cdot 8\cdot 10\cdot 12}{7\cdot 9\cdot 11} = 5.5...$ por lo $6=M<5.5$, no hay ninguna solución en $\mathbb{Z}^+$.

Ans $(a, b, c, d) = (2,4,10,80), (3,5,17,255)$