Quiero calcular la transformada de Fourier de la unidad de función de paso (dado por $\phi(x) = 1$$x \geq 0$$\phi(x) = 0$$x < 0$) considerarse como una base de distribución. Tenga en cuenta que no me importa acerca de la respuesta (uno, básicamente, se puede buscar en Wikipedia), sino más bien el método. Creo que estoy cometiendo un error en algunos de los más implicados en los cálculos, y creo que puedo trazar el error básico de vuelta a este cálculo.
De todos modos, aquí está mi intento de tan lejos. Por la definición de la transformada de Fourier de una base de distribución, $\hat{\phi}$ es el templado de distribución cuya vinculación con un Schwartz función de la clase está dada por:
$\langle \hat{\phi}, f \rangle = \langle \phi, \hat{f} \rangle$
El último emparejamiento está dada por
$\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \hat{f}(x) dx = \int_0^\infty \hat{f}(x)dx$
Definir $F(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{-1}{i\omega} f(\omega) e^{-i \omega x} \, \mathrm{d}\omega$ (en el Principal sentido de Valor), por lo que el$F'(x) = \hat{f}(x)$$F(x) \to 0$$x \to \infty$. Por el teorema fundamental del cálculo:
$\int_0^\infty \hat{f}(x)dx = -F(0) = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi i \omega} f(\omega) d\omega$
Esto demuestra que la vinculación de $\hat{\phi}$ con la función de prueba de $f$ está de acuerdo con la vinculación de la planta de distribución de $g(\omega) = \frac{1}{2\pi i \omega}$$f$, por lo que a mí me parece que $\hat{\phi} = g$.
Por desgracia, esta es la respuesta equivocada. Lo sé porque lo $\phi$ difiere el signo de la función por una constante aditiva, y la distribución de la transformada de Fourier de la señal función es $2g$. Así que me estoy perdiendo un delta de distribución en algún lugar, y yo no veo donde se supone que vienen. Alguien puede ayudar?
