Interpretación geométrica de la transformación lineal

Question

Tengo una transformación lineal, dada por la siguiente matriz $$\begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \end {pmatrix} \mapsto \begin {pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \\ \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \end {pmatrix}$$

¿Cómo puedo determinar a qué corresponde esto geométricamente, cuando lo aplico al $x_1,x_2$ -avión. He tratado de visualizar la transformación a mano, y usando un diagrama de campo en Maple, para tener una idea de lo que está sucediendo. Mi idea era entonces descomponerlo en escala, rotación, reflexión o algunas otras transformaciones simples.

Mi pregunta es: ¿A qué transformación geométrica corresponde el mapa lineal anterior y, en general, cuál es una buena estrategia para resolver este tipo de problema?

Answer 1

Lo mejor es ver qué pasa con los elementos de la base canónica. Así, tienes dos vectores $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ . Tienes el cuadrado de la unidad generado por ellos y su imagen podría ser un rectángulo, o un paralelogramo, o una línea, etc....

En nuestro caso, $e_1$ se asigna al vector $(2,-1)$ . Lo mismo para $e_2$ . Así que la imagen es una línea, es decir, generada por $v=(2,-1)$ .

Answer 2

En general, para ver la imagen geométrica, encontrar la forma canónica de Jordan.

Si ambos valores propios son complejos, se trata de una rotación elíptica seguida de una dilatación, similar a la multiplicación en el plano complejo. Si ambos son reales y distintos, entonces es obvio lo que hace en la base del vector propio. Si la forma de Jordan es degenerada, se verán otras imágenes, como, por ejemplo, transvecciones simplécticas.

En tu caso la matriz es obviamente de rango uno, por lo que sus valores propios son 1 y 0. Es una proyección.

Answer 3

El determinante de la matriz de la transformación lineal revela una buena parte de la geometría. Consideremos $L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ donde $L(v)=Av$ para $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ . Supongamos que $v_1,v_2$ son vectores que son los lados de un paralelogramo $P$ . Es un ejercicio sencillo demostrar que $Area(P) = det[v_1|v_2]$ . Consideremos entonces que la transformación lineal toma $v_1,v_2$ a los vectores transformados $L(v_1),L(v_2)$ . El área de $L(p)$ también viene dado por $Area(L(P)) = det[L(v_1)|L(v_2)]$ . Observe que

$$Area(L(P)) = det[ Av_1|Av_2] = det(A[v_1|v_2])=det(A)det[v_1|v_2] = det(A)Area(P)$$

Considera las posibilidades:

1. $det(A)=0$ sigue el $L(P)$ es un punto o una línea ( $A=0$ para conseguir un punto)
2. $det(A) >1$ entonces la orientación de $P$ se mantiene y se expande.
3. $det(A) <-1$ entonces la orientación de $P$ se invierte y se expande.
4. $0<det(A) <1$ entonces la orientación de $P$ se mantiene y se encoge.
5. $-1<det(A)<0$ entonces la orientación de $P$ se invierte y se encoge.

Para describir los detalles de cómo $P$ se encoge o expande se pueden estudiar los vectores propios, el vector propio generalizado y los vectores propios complejos que surgen en varios casos como se ha señalado en las otras respuestas hasta ahora.