¿Cómo puedo evaluar esta $$\frac{\log_a(\log_b(a))}{\log_b(\log_a(b))}\tag{1}$$
Mis Esfuerzos
Sé que esta identidad $$\log_a(b)=\frac{\log_d(b)}{\log_{d}(b)}\tag{2} $$
Fijemos una base de decir $e$ y voy a llamar a $\log$ base $e$ simplemente como $\ln$
Así que vamos a ver lo que el numerador se evalúa a
El uso de $(2)$ una vez que los tengamos,
$$\log_a(\log_b(a))=\frac{\ln(\log_b(a))}{\ln(a)}$$
De nuevo el uso de $(2)$ $$\log_a(\log_b(a))=\frac{\ln\left( \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\right)}{\ln(a)}\etiqueta{3}$$
Del mismo modo denominador evalúa a $$\log_b(\log_a(b))=\frac{\ln\left( \frac{\ln(b)}{\ln(a)}\right)}{\ln(b)}\etiqueta{4}$$
El uso de $(3)$ e $(4)$ en $(1)$, tenemos $$\log_a(b)=\frac{\log_d(b)}{\log_{d}(b)}\etiqueta{5}= \frac{\frac{\ln\left( \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\right)}{\ln(a)}}{\frac{\ln\left( \frac{\ln(b)}{\ln(a)}\right)}{\ln(b)}}$$
que más se evalúa a $$-\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$ which is equal to $$-\log_a(b)$$
Estoy en lo cierto?
