Derivada parcial de $PV=nRT$ con respecto a $T$

Question

Todos sabemos que para un gas ideal $PV=nRT$ entonces, si lo diferenciamos parcialmente con respecto a $T$ ¿no deberíamos obtener

$$\frac{\partial}{\partial T}(PV)=P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$

y $$\frac{\partial}{\partial T}(nRT)=nR$$ por lo que $$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V=nR?$$

Pero cada libro dice que $P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P=nR$ para un gas ideal a partir de $PV=nRT$. $\frac{\partial}{\partial T}(PV)$ siempre es nR. No hay confusión al respecto. Pero quiero saber por qué escriben "$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P=nR$" en lugar de "$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V=nR?$"?? Utilizan esta relación $P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P=nR$ para derivar $C_p-C_v=nR$ y simplemente escribieron que esto es válido para el gas ideal. ¿Por qué lo hicieron así? ¿Qué hay de malo en mi derivación? por favor, ayúdame.

Answer 1

Estás aplicando incorrectamente la regla del producto. Tienes que especificar qué variables mantiene constantes tu derivada "al principio". En otras palabras, no mezcles lo que se mantiene constante. Por lo tanto, si quieres mantener el volumen (y el número de partículas) constante, haces

$$\left[\frac{\partial(PV)}{\partial T}\right]_{n,V}=V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{n,V}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n,V}=V\left(\frac{nR}{V}\right)+0=nR$$

Para verificar: $$\left[\frac{\partial(PV)}{\partial T}\right]_{n,V}=\left[\frac{\partial(nRT)}{\partial T}\right]_{n,V}=nR$$ o puedes hacer lo mismo manteniendo la presión constante. Encontrarás lo mismo.

Lo que propones en realidad terminará sumando $nR$ dos veces y por lo tanto te dará $2nR$. La expresión $\frac{\partial}{\partial T}(PV)$ no es muy buena de usar ya que no estás especificando qué estás manteniendo constante (y no puedes mantener constantes todas las demás variables o de lo contrario no podrías cambiar la temperatura debido a la ley de los gases ideales).

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De hecho, técnicamente no necesitamos mantener constante $P$ o $V$, pero en general necesitaríamos al menos especificar cómo uno de estos cambia con respecto a las otras variables, ya que hay más de una forma en que $P$ y $V$ podrían variar a medida que cambiamos la temperatura. Sin embargo, resulta que para el gas ideal esta especificación es irrelevante. Veamos por qué solo manteniendo constante $n$. Entonces tenemos \begin{align}\left[\frac{\partial(PV)}{\partial T}\right]_n&=V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{n}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n} \\ & =V\left(\frac{\partial (nRT/V)}{\partial T}\right)_{n}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n} \\ & =nR-\frac{nRT}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n} \\ & =nR-P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{n}\\ & =nR\end{align}

Entonces, como puedes ver, esto siempre será así. La clave es que necesitas especificar las restricciones en tus variables antes de tomar la derivada. Las restricciones no surgen de la nada.

Answer 2

Gracias a todos por responder a mi pregunta. Lo entendí. Puedo entender mi error. Apliqué la regla del producto para la derivada parcial incorrectamente. La derivación debería ser la siguiente-$PV=nRT$, entonces para encontrar $$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ primero tenemos que expresar V como una función de T y P. Por lo tanto, debería escribir $$V=V(P,T)=\frac{nRT}{P}$$ de lo cual obtenemos $$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{nR}{P}$$ Lo que implica la relación $$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=nR$$ como se menciona en esos libros.

Answer 3

Para un gas ideal PV = nRT

Si diferenciamos parcialmente con respecto a $T$ obtenemos

$P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)+V\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)=nR$

Con presión constante $\frac{\partial P}{\partial T}=0$

Entonces, $P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$\=nR

Vi esta relación ser utilizada para derivar la fórmula $C_p -C_v =nR$

Por la primera ley de la termodinámica

$dq=dE+PdV$

O, $dq/dT=\frac {dE+PdV}{dT}$

O$C=\frac {dE+PdV}{dT}$.......(1)

en volumen constante dV=0

Entonces, $C_v=(\frac{dE}{dT})_v$........(2)

Entalpía $H=E+PV$

$(\frac {dH}{dt})_p=(\frac{dE}{dT})_p +P(\frac{dV}{dT})_p$.........(3)

Por (1) y (3)

$C_p=(\frac{dH}{dT})_p$........(4)

Sabemos que $H=E+PV=E+nRT$

O, $\frac{dH}{dT}=\frac{dE}{dT} +R$

Por (2) y (4)

$C_P-C_v=R$