Sea $\{a_1,a_2,\ldots,,a_n\}$ una muestra aleatoria de una distribución de Poisson. Considera las siguientes variables aleatorias $X_1=\mathrm{Binomial}(a_1,q), ~X_2=\mathrm{Binomial}(a_2,q),\ldots,~X_n=\mathrm{Binomial}(a_n,q)$ .
¿Existe un método para encontrar la distribución de $X=\sum_{i=1}^nX_i$ ?
La respuesta a este problema en particular es inmediato si usted piensa en términos de cómo estas distribuciones suelen presentarse.
Considere la posibilidad de un proceso de Poisson homogéneo de la tasa de $\mu.$ En el primer intervalo de tiempo que usted observe $a_1$ eventos, a continuación, en el segundo intervalo de tiempo que usted observe $a_2 $ eventos, y así sucesivamente. Las probabilidades Binomiales, que reflejan los resultados de la selección al azar, con igualdad de probabilidades de $q,$ a partir de cada conjunto de $a_i$ eventos. El resultado es un proceso de Poisson que se ha "adelgazado", manteniendo sólo una fracción $q$ de todos los eventos. Por lo tanto, su velocidad debe ser $q\mu$ y se ha quedado para $n$ intervalos de tiempo. En consecuencia, la escritura $\lambda=n\mu$ para la tasa global durante estos intervalos de tiempo, la respuesta debe ser la de probabilidad de Poisson,
$$\Pr(X=k) = e^{-q\lambda} \frac{(q\lambda)^k}{k!}.$$
Ahora vamos a abordar la cuestión general donde la $a_i$ surgir de forma independiente de acuerdo con cualquier distribución.
Deje $A=a_1+a_2+\cdots+a_n$ ser la variable aleatoria igual a esta suma. Al concebir un Binomio$(a,q)$ distribución como el de la suma de $a$ de Bernoulli independientes$(q)$ de las distribuciones, es evidente que la suma de los $X_i$ se distribuye como la suma de todos los $a_1+a_2+\cdots + a_n$ variables de Bernoulli. Deje que la función de probabilidad para $A$ ser $p,$ , de modo que para $a=0, 1, 2, \ldots,$
$$p_a = \Pr(a_1+a_2+\cdots+a_n=a).$$
Condicional en $A=a,$ la probabilidad Binomial de la ley es
$$\Pr(k) = \binom{a}{k}q^k(1-q)^{a-k}.$$
El caso de $X=k$ es distinto de la unión de los eventos a$(A,X)=(0,k),$ $(A,X)=(1,k),$ $(A,X)=(2,k),$ y así sucesivamente. Por lo tanto su probabilidad es la suma de las probabilidades de estos eventos, cada uno de los cuales puede ser calculado en términos de probabilidades condicionales como
$$\Pr(A,X)=(a,k) = \Pr(X=k\mid A=a)\Pr(A=a) = \binom{a}{k}q^k(1-q)^{a-k}\, p_a.$$
Su suma es
$$\Pr(X=k) = \sum_{a=0}^\infty \Pr(a,k) = \sum_{a=0}^\infty\binom{a}{k}q^k(1-q)^{a-k}\, p_a.$$
Observe que $X=k$ es imposible, a menos $a \ge k.$ acerquémonos, pues, volver a indexar la suma en términos de $a-k=0, 1, 2, \ldots,$ escrito $n=a-k:$
$$\Pr(X=k) = \sum_{n=0}^\infty\binom{n+k}{k}q^k(1-q)^{n}\, p_{k+n} = q^k\sum_{n=0}^\infty\binom{n+k}{k}(1-q)^{n}\, p_{k+n}.$$
Esta la solución general. Fue obtenida utilizando sólo los axiomas básicos de probabilidad (y por lo tanto muchas explicaciones se pueden encontrar en los libros de texto, si usted desea hacer más investigación).
Cuando la $a_i$ distribuciones de Poisson de las tasas de $\lambda_i,$ su suma tiene una distribución de Poisson de tasa de $\lambda = \sum_i\lambda_i,$ dónde
$$p_a = e^{-\lambda} \frac{\lambda^a}{a!}.$$
Conectando en la anterior fórmula se obtiene
$$\Pr(X=k) = q^k\sum_{n=0}^\infty\binom{n+k}{k}(1-q)^{n}\, e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k+n}}{(k+n)!} = e^{-\lambda}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\lambda(1-q))^{n}}{n!}.$$
Esta última suma es la serie para $\exp(\lambda(1-q)),$ simplificando el resultado a
$$\Pr(X=k) = e^{-\lambda}\frac{(\lambda q)^k}{k!}e^{\lambda(1-q)} = e^{-q\lambda}\frac{(\lambda q)^k}{k!},$$
cual es la probabilidad de Poisson para $k$ con tasa de $\lambda q$ se obtuvo en el principio (no se utiliza ningún cálculo).
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