Límite superior e inferior cuando una parte diverge

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite superior e inferior de la secuencia: $x_n = (1 + \frac{1}{2n})\cos{\frac{n\pi }{3}}$ como $ n \in \mathbb N $

Hice lo siguiente: desde $\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{2n}) = 1$ y el segundo término " límite oscila entre -1 y 1, decidí que el supremum debe ser $1$ y infimum debe ser $-1$. Pero esta es una respuesta incorrecta.

¿Qué he hecho mal? Gracias.

UPD: Es una tarea de la online-cursos de sitio y no hay una respuesta automática sistema de control. Así que, como dije en mi pregunta, respuesta $-1$ e $1$ no se pasa y no hay ninguna explicación de por qué.

Yo creo que no debe ser utilizado de Bolzano–Weierstrass teorema para hallar todos los posibles convergente subsecuencias, y luego encontrar los límites para cada uno de ellos...

Answer 1

Tenemos $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2n}) = 1$ e $0 \le |\cos(x)| \le 1$ para todos los $x \in \Bbb R$, por lo que $$\limsup_n \,(1+\frac{1}{2n}) = 1 \text{ y } \limsup_n \, \left|\cos{\frac{n\pi }{3}} \right| \le 1.$$ El uso de $\limsup ( a_n b_n ) \leqslant \limsup a_n \limsup b_n$ (con $a_n = 1 + \frac{1}{2n}$ e $b_n = |\cos\frac{n\pi}{3}|$), tenemos $$\limsup_n \, (1 + \frac{1}{2n}) \left|\cos{\frac{n\pi }{3}} \right| \le 1,$$ así $$-1 \le -\limsup_n \, (1 + \frac{1}{2n}) \left|\cos{\frac{n\pi }{3}} \right| \le \liminf_n\, (1 + \frac{1}{2n}) \cos{\frac{n\pi }{3}}.$$

(Recordemos que $\liminf_n a_n$ puede ser de forma equivalente se define como el mínimo posible límite de subsequence $(a_{n_k})_k$, que está delimitada por debajo de $(-|a_{n_k}|)_k$.)

• $n = 6k + 3$: $x_n = (1 + \frac{1}{12k + 6})(-1) \to -1$ como $k \to \infty$.
• $n = 6k$: $x_n = (1 + \frac{1}{12k})(1) \to 1$ como $k \to \infty$.

Esto demuestra que $\limsup_n x_n = 1$ e $\liminf_n x_n = -1$.