Problema relacionado con el punto fijo en$S^1$

Question

Supongamos $f:S^1\rightarrow S^1$ es un mapa no es homotópica a la identidad del mapa. Mostrar que existe $x,y\in S^1$ tal que $f(x)=x$ e $f(y)=-y$? (Si no hay puntos fijos, a continuación, $f$ es homotópica a la identidad del mapa? y si no $y$ existe $f$ es homotópica a la identidad? ¿Cómo puedo mostrar esto?)

Answer 1

Vamos a demostrar el siguiente un poco más general resultado:

Supongamos $f:S^1\rightarrow S^1$ es un mapa no es homotópica a la identidad del mapa. A continuación, para cada una de las $a \in S^1$ existe $z \in S^1$ tal que $f(z) = az$.

Considerar los casos especiales $a =1, -1$.

La prueba por contradicción:

Suponga que existe $a \in S^1$ tal que $f(z) \ne az$ para todos los $z \in S^1$. Primero vamos a observar que el segmento de línea $s(x,y) = \{ (1-t)x + ty \mid t \in [0,1] \} \subset \mathbb C$ conexión de dos puntos de $x, y \in S^1$ contiene $0$ si y sólo si $y = -x$. Esto implica que $$H : S^1 \times I \to S^1, H(z,t) = \dfrac{(1-t)f(z) +t(-az)}{\lvert (1-t)f(z) +t(-az) \rvert} .$$ es bien definida debido a $-az \ne -f(z)$ para todos los $z$. Esto demuestra que $f$ es homotópica a la mapa $g : S^1\to S^1, g(z) = -az$. Escribir $-a = e^{i\alpha}$ con $\alpha \in [0,2\pi)$ y definir $$G : S^1 \times I \to S^1, G(z,t) = e^{i\alpha t}z .$$ Este es un homotopy de la identidad a $g$.

Hemos demostrado que $f \simeq id$ lo cual es una contradicción.

Enfoque alternativo:

Considerar el mapa de $f^* : S^1 \to S^1, f^*(z) = \frac{f(z)}{z}$. A continuación, $f^*$ es surjective si y sólo para cada una de las $a \in S^1$ existe $z \in S^1$ tal que $f(z) = az$.

Suponga que $f^*$ no es surjective. Entonces existe $a \in S^1$ tal que $f^*(S^1) \subset S^1 \setminus \{ a \}$. El último espacio es homeomórficos a un intervalo abierto, por lo tanto contráctiles y llegamos a la conclusión de que $f^*$ es homotópica a una constante mapa. Puesto que todas constante de los mapas en un camino que conecta el espacio son homotópica, nos encontramos con un homotopy $H^* : S^1 \times I \to S^1$ tal que $H^*(z,0) = f^*(z)$ e $H^*(z,1) = 1$. A continuación, $H(z,t) = zH^*(z,t)$ es un homotopy de $f$ a $id$.