Dos mapas induciendo los mismos grupos de homotopía.

Question

Deje que $X,Y$ sean dos complejos CW y $f,g$ dos mapas continuos de $X$ a $Y$ . Supongamos que $f_*=g_*:\pi_q(X) \to \pi_q(Y)$ para cualquier $q$ , entonces ¿podemos probar que $f$ y $g$ son homotópicos?

Answer 1

Además de las respuestas dadas en el Dan de la Roya del enlace, también se puede observar que Cohomology Operaciones están representados por la continua mapas entre Eilenberg-MacLane espacios de $K(G,n) \to K(\pi,m)$ para la variación de $G,n,\pi, m$. En particular, hay no-cero cohomology operaciones representados por mapas donde $m>n$, por ejemplo el Bockstein operación $\beta\colon K(\mathbb{Z}/2, n) \to K(\mathbb{Z}/2,n+1)$. Para el grado razones de cualquier mapa entre estos CW complejos induce $0$ en todos los homotopy grupos, pero el mapa no puede ser null-homotópica porque hay muchos espacios que apoyan la no-cero Bocksteins.

Answer 2

He aquí un pequeño giro: un par de mapas que inducen la misma en $\pi_*$ pero diferentes mapas en $H_*$. Por lo tanto demostrando que no son homotópica es sumamente sencilla.

Tomar las esferas $S^m$, $S^n$ y la forma del producto $S^m\times S^n$. La cuña es la subsapce $S^m\vee S^n=S^m\times e_1\cup e_1\times S^n$ y el smash producto es el cociente $S^m\wedge S^n=S^m\times S^n/S^m\vee S^n$. Tenga en cuenta que $S^m\wedge S^n\cong S^{m+n}$.

Los dos mapas que vamos a considerar será la par de la constante mapa

$$c:S^m\times S^n\rightarrow S^m\wedge S^n,\qquad (x,y)\mapsto e_1\wedge e_1$$

y el cociente mapa

$$q:S^m\times S^n\rightarrow S^m\wedge S^n,\qquad (x,y)\mapsto x\wedge y.$$

Ahora claramente la constante mapa de $c$ induce el cero de morfismos en ambos homotopy y homología. Por otro lado $q$ más, ciertamente, no inducir el cero mapa en $H_*$. De hecho, la secuencia exacta de los cofibration $S^m\vee S^n\rightarrow S^m\times S^n\rightarrow S^m\wedge S^n$ muestra que induce un isomorfismo

$$H_{m+n}(q):H_{m+n}(S^m\times S^n)\xrightarrow{\cong}H_{m+n}(S^{m+n}).$$

Ahora el mapa

$$\pi_r(S^m\times S^n)\rightarrow \pi_rS^m\oplus\pi_rS^n,\qquad \alpha\mapsto( pr_1\circ\alpha\oplus pr_2\circ\alpha)$$

es un isomorfismo natural. De hecho, esto sucede cada vez que usted mapa en el producto cartesiano de cualquier par de espacios. Por lo tanto, si $\alpha:S^r\rightarrow S^m\times S^n$ representa una clase en $\pi_r(S^m\times S^n)$ puede ser escrito como el compuesto

$$\alpha:S^r\xrightarrow{\Delta} S^r\times S^r\xrightarrow{\alpha_1\times \alpha_2}S^m\times S^n$$

donde $\Delta$ es la diagonal mapa y $\alpha_i=pr_i\circ\alpha$. Luego por la inspección tenemos una estrictamente conmutativo el diagrama $\require{AMScd}$ \begin{CD} S^r\times S^r@>\alpha_1\times \alpha_2>> S^m\times S^n\\ @VV q'V @VV q V\\ S^r\wedge S^r @>\alpha_1\wedge \alpha_2>> S^m\wedge S^n \end{CD}

y desde $S^r\wedge S^r\cong S^{2r}$ compuesto

$$S^r\xrightarrow{\Delta}S^r\times S^r\xrightarrow{q'}S^{2r}$$

es null-homotópica.

Así

$$q_*\alpha=0\in\pi_r(S^m\wedge S^n).$$

y llegamos a la conclusión de que $q_*$ induce el cero mapa en todos los grupos homotopy

$$\pi_*(q)=\pi_*(c)=0.$$

Answer 3

Aquí es un cálculo en el espíritu de William es la respuesta que yo creo que es accesible sin necesidad de saber mucho sobre la cohomology de Eilenberg-MacLane espacios.

La cuestión se reduce a encontrar un trivial cohomology grupo $H^m(K(G,n),G')$ con $m \neq n$ porque cohomology está representado por el Eilenberg-MacLane espacios, y, como dijo William, dimensión razones implican que es trivial en homotopy grupos. Usted no tendrá suerte si $m<n$ ya que se puede utilizar el Hurewicz homomorphism y el universal coeficiente teorema de deducir todos estos son triviales. Sin embargo, este proceso nos dice $H^m(K(G,n),G')=Hom(G,G')$. Por simplicidad, pick $G=G'=\mathbb{Z}/2$, así que esto es igual a $\mathbb{Z}/2$. A continuación, $H^{m+1}(K(\mathbb{Z}/2,n),\mathbb{Z}/2)=Hom(H_{m+1}(K(\mathbb{Z}/2,n)),\mathbb{Z}/2)\bigoplus Ext(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$ que es trivial desde $Ext(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$. Así que no trivial de los elementos de este grupo corresponden a trivial homotopy clases de mapas que inducen trivial mapas en homotopy.