motivación del álgebra

Question

No sé por qué necesitamos el álgebra de carbón ¿Cuál es la motivación? Al cambiar todas las flechas de la estructura del álgebra, parece extraño ¿Cuál es la aplicación del álgebra de carbón? ¿Cuál es la relación con el álgebra de Lie, la teoría de la representación y la categoría derivada? Estoy muy confundido con esta definición.

Gracias.

Answer 1

Aunque hay muchas razones por las que uno puede estar interesado en las álgebras de carbón, muchos investigadores se interesan por las bialébras (o álgebras de Hopf). Antes de poder entenderlas, es muy recomendable tener unos conocimientos básicos de las álgebras de carbón.

Consideremos primero algunos ejemplos naturales.

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y consideremos el álgebra de grupos complejos $\mathbb{C}[G]$ . Considere la categoría $\mathcal{C}=\text{Rep}(G)$ de dimensiones finitas $G$ -representaciones ( $\mathcal{C}=\mathbb{C}[G]-\text{mod}$ ). Como probablemente hayas aprendido en un curso de teoría de la representación de grupos, se puede tomar el producto tensorial de dos $\mathbb{C}[G]$ -módulos $M$ y $N$ . El producto tensorial $M\otimes_{\mathbb{C}}N$ es de nuevo un $\mathbb{C}[G]$ -y la acción de $g\in G$ viene dada por $g\cdot (m\otimes n):=g\cdot m\otimes g\cdot n$ .

Consideremos ahora un mapa lineal $\Delta\colon\mathbb{C}[G]\to \mathbb{C}[G]\otimes_\mathbb{C} \mathbb{C}[G]$ determinado por $\Delta(g)=g\otimes g$ para todos $g\in G$ . Nótese que este mapa codifica la acción de $\mathbb{C}[G]$ en $M\otimes N$ de forma natural. La asociatividad del producto tensorial produce naturalmente la coasociación para $\Delta$ . Además, la asociatividad del $G$ acción sobre $M\otimes_\mathbb{C} N$ obliga al mapa $\Delta$ para ser un morfismo de álgebra, es decir $\Delta(gh)=\Delta(g)\Delta(h)$ . De ahí el hecho de que $\mathcal{C}$ es una categoría tensorial que obliga al álgebra $\mathbb{C}[G]$ para ser una bialgebra.

Podemos repetir la misma historia para las álgebras de Lie.

Dejemos que $L$ sea una bonita álgebra de Lie compleja y finita. Sea $\mathcal{C}$ sea la categoría de representaciones de álgebras de Lie de dimensión finita de $L$ . Equivalentemente, $\mathcal{C}=U(L)-\text{mod}$ donde $U(L)$ es el álgebra envolvente universal de $L$ . Dados dos $L$ -representaciones $M$ y $N$ el producto tensorial $M\otimes_\mathbb{C} N$ se convierte en $L$ -representación y la acción está determinada por $l\cdot (m\otimes n)=l\cdot m\otimes n+m\otimes l\cdot n$ . Equivalentemente, la acción se codifica en la comulgación $\Delta\colon U(L)\to U(L)\otimes_\mathbb{C} U(L)$ determinado por $\Delta(l)=l\otimes 1+1\otimes l$ para todos $l\in L\subset U(L)$ . Una vez más, la estructura tensorial en $\mathcal{C}$ fuerzas $U(L)$ para ser una bialgebra.

Después de entender estos ejemplos, te darás cuenta rápidamente de que un bialgebra $B$ produce una estructura monoidal en su categoría de representación. Lo contrario también es cierto hasta cierto punto (véase la reconstrucción de Tannaka para más detalles).

Dado que las categorías de representación y las estructuras monoidales han demostrado ser fundamentales en muchas ramas de la física y las matemáticas, yo diría que son razones de peso para interesarse por las álgebras y las bialgebras.