Deje $a\mathop{.}b \stackrel{\text{def}}{=} aba^{-1} $ denotar la conjugación por $a$
Supongamos que definimos una matriz de $M$, la "conjugación de la tabla", asociado con nuestro grupo finito $G = (X,*_{\small{G}})$ como sigue. (Estoy pensando en las células de $M$ a ser formal sumas de los elementos del grupo (con el producto de monomials se define en términos del grupo de operación), pero yo sólo estoy usando esa maquinaria para hablar de equivalencia hasta el re-etiquetado.)
$$ M_{ij} \stackrel{\text{def}}{=} x_i \mathop{.} x_j = x_i x_j x_i^{-1} $$
También estoy pensando en dos matrices $M$ e $M'$ como equivalente, si sólo se diferencian por una permutación / reetiquetado, por lo que
$$ M \sim M' \stackrel{\text{def}}{\iff} MP=M' \;\;\text{where $P$ is a permutation matrix} $$
o, equivalentemente,
$$ M \sim M' \stackrel{\text{def}}{\iff} M_{ij} = M'_{\sigma i \sigma j} \;\;\text{where $\sigma$ is a permutation} $$
No puedo pensar en un caso en el que un $M$ no identifica a un grupo y un caso donde un $M$ no identifica de manera única un grupo.
Creo que un grupo Abelian si y sólo si las siguientes sostiene. (El "si", la dirección es trivial).
$$ x_i \mathop{.} x_j = x_j \;\;\forall i,j $$
Por lo tanto, si $G$ tiene cuatro elementos y es Abelian, entonces podría ser cíclica de grupo en cuatro elementos $Z_4$ o el Klein cuatro grupo de $V_4$.
$Z_4$ e $V_4$ son indistinguibles por su "conjugación tablas".
Sin embargo, si $G$ tiene tres elementos, que sólo puede ser $Z_3$ ya que solo hay un grupo de orden 3.
Así que, al menos hay algunas circunstancias en las que un determinado $M$ está asociado con exactamente un grupo. ¿Sabemos cuáles son esas circunstancias?
