Supongamos que$\ \pi+e\ $ es trascendental. Qué pasa $\ \pi-e\ $?

Question

Supongamos que $\ \pi+e\ $ es un número trascendental.

¿Podemos concluir si $\ \pi-e\ $ es racional, algebraico irracional o trascendental?

Si entendí las consecuencias de la conjetura de Schanuel correctamente, implica que $\ \pi-e\ $ es trascendental. Pero, ¿podemos también decir algo sin más conjeturas no probadas?

Answer 1

Afirmo que esa declaración "si $\pi+e$ es trascendental, a continuación, $\pi-e$ es trascendental" implica que $\pi-e$ es trascendental. Esto demuestra que el conocimiento que se $\pi+e$ es trascendental no ayuda a la conclusión de que $\pi-e$ es trascendental.

Se supone que si $\pi+e$ es trascendental, a continuación, $\pi-e$ es trascendental. Por separado, se puede ver directamente que si $\pi+e$ es algebraica, a continuación, $\pi-e = (\pi+e)-2e$ es trascendental (ya sabemos $e$ es trascendental). Desde $\pi+e$ es trascendental o algebraicas, llegamos a la conclusión de que $\pi-e$ es trascendental.