Demostrando que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^2}=\frac{\pi -1}{2}$$
He conocido a una conclusión similar $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sen nx}{n}= \begin{cases} \dfrac{\pi - x}{2} & x \in (0, 2\pi),\\ \quad 0 & x = 0, \\ f(x+2\pi) & x \in \Bbb{R}. \end{casos} $$ Y uno de mis compañeros de clase se encuentra la ecuación mencionada por mathematica.
Me quedé sorprendido por la ecuación
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n} $$
Mi intento
\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^2} & = \sum_{n=1}^\infty \frac{1-\cos 2n}{2n^2} \\ & = \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \frac{\sin 2n\theta}{n} d\theta \\ & = \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n} d\theta \\ & = \int_0^1 \frac{\pi}{2}-\theta \,d\theta \\ & = \frac{\pi-1}{2} \end{align}
Oh. En realidad yo no había solucionado antes he editado esta pregunta, pero me parecía haber funcionado.
Así que, ¿hay algún otro método para resolver este problema? Y un conocimiento más profundo?
He oído que puede ser trabajado a través de complejos análisis y análisis de fourier.
Gracias de antemano!
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Aquí es otro posible generalización
$$ \sum_{n \in \mathbb{Z} } \left[\frac{\sin (n \alpha + \theta) }{ n \alpha + \theta} \right)^2 = \frac{\pi}{\alpha} \,\, \forall \alpha , \theta \in \mathbb{R} $$
Me quedé atrapado en ella. Para $\theta=0$ podemos utilizar la siguiente ecuación $$ \sum_{n \in \mathbb{Z} } \frac{\cos n\theta}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi \theta}{2} + \frac{\theta^2}{4} \,\, \theta \en [0,2\pi] $$ Pero, ¿cómo lidiar con la situación que $\theta \ne 0$?
Me puedes dar algunos consejos? Gracias de antemano!
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Puedes hacer sorprendentes ecuaciones con $$S_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^k (n)}{n^k}$$ One of my former students worked them and showed that, for $ k \ leq 6 $ , simplemente escriben como $$S_k=-\frac 12 +a_k\, \pi$$ where $ a_k $ es un número racional.
Estos coeficientes son $$ \ left \ {\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, \ frac {3} {8}, \ frac {1} {3}, \ frac {115} {384}, \ frac {11} {40} \ right \} $$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\sum_{n = 1}^{\infty}{\sin^{k}\pars{n} \over n^{k}}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\mrm{sinc}^{k}\pars{n} = -1 + \sum_{n = 0}^{\infty}\mrm{sinc}^{k}\pars{n} \\[5mm] = &\ -1 + \int_{0}^{\infty}\mrm{sinc}^{k}\pars{x}\dd x + {1 \over 2}\,\mrm{sinc}^{k}\pars{0}\qquad\pars{~Abel\mbox{-}Plana\ Formula~} \\[5mm] = &\ \bbx{\int_{0}^{\infty}{\sin^{k}\pars{x} \over x^{k}}\,\dd x - {1 \over 2}} \\[5mm] & \mbox{with}\quad \int_{0}^{\infty}{\sin^{k}\pars{x} \over x^{k}}\,\dd x = \left\{\begin{array}{ccrcl} \ds{\pi \over 2} & \mbox{if} & \ds{k} & \ds{\in} & \ds{\braces{1,2}} \\[2mm] \ds{3\pi \over 8} & \mbox{if} & \ds{k} & \ds{=} & \ds{3} \\[2mm] \ds{\pi \over 3} & \mbox{if} & \ds{k} & \ds{=} & \ds{4} \\[2mm] \ds{115\pi \over 384} & \mbox{if} & \ds{k} & \ds{=} & \ds{5} \\[2mm] \ds{11\pi \over 40} & \mbox{if} & \ds{k} & \ds{=} & \ds{6} \end{array}\right. \end{align}
En el uso de Abel-Plana de la Fórmula,
$\ds{\left.{\sin^{k}\pars{z} \over z^{k}}\expo{-2\pi\,\verts{\Im\pars{z}}} \right\vert_{\ z\ \en\ \mathbb{C}} \,\,\,\stackrel{\mrm{como}\ \verts{\Im\pars{z}}\ \para\ \infty}{\sim}\,\,\, \pm\,{\ic^{-k}\expo{\ic\,\Re\pars{z}} \\bracks{\Im\pars{z}}^{k}} \exp\pars{\bracks{k - 2\pi}\verts{\Im\pars{z}}} \,\,\,\stackrel{\mrm{como}\ \verts{\Im\pars{z}}\ \para\ \infty}{\LARGE\a}\,\,\,\color{red}{\large 0}\implica \bbx{k \leq 6}}$.
