Demostración de las "definiciones" trigonométricas

Question

La expresión "definiciones" trigonométricas se refiere aquí, de forma bastante limitada, a los enunciados que expresan relaciones estables entre los lados del triángulo rectángulo.

Así, por ejemplo, el tradicional definición de sine supone que se tiene un demostración que las relaciones entre lado opuesto y hipotextos son independientes del tamaño del triángulo rectángulo y dependen, en cambio, de la amplitud de los ángulos del mismo.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se pueden demostrar realmente estas relaciones estables, simplemente asumidas por la mayoría de las "definiciones" trigonométricas?

Se ha publicado una pregunta muy similar aquí pero sigo sin estar satisfecho con la mayoría de las respuestas, que parecen evocar o bien complejos objetos matemáticos innecesarios o bien relatos históricos simplistas.

Supongo que lo que busco es algo parecido a una prueba geométrica, pero estoy abierto a otras.

Answer 1

Para demostrar que la función seno está bien definida, se utilizan dos teoremas de la geometría euclidiana combinados con un poco de álgebra. Los dos teoremas son:

Teorema 1: En cualquier triángulo, la suma de los ángulos es igual a $\pi$ .

En realidad, no me importa el valor numérico de la suma, así que quizá se pueda enunciar el Teorema 1 de forma más clásica: la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos. En cualquier caso, lo único que utilizaré es que las sumas de los ángulos de dos triángulos cualesquiera son iguales.

Teorema 2 (Teorema del "ángulo-ángulo-ángulo"): Para dos triángulos cualesquiera $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ Si $\angle ABC = \angle A'B'C'$ son congruentes, y si $\angle BCA = \angle B'C'A'$ son congruentes, y si $\angle CAB = \angle C'A'B'$ son congruentes, entonces los triángulos son similares. Más detalladamente, esto significa que tenemos igualdad de razones $$\text{Length}(\overline{AB}) \bigm/ \text{Length}(\overline{A'B'}) = \text{Length}(\overline{BC}) \bigm/ \text{Length}(\overline{B'C'}) = \text{Length}(\overline{CA}) \bigm/ \text{Length}(\overline{C'A'}) $$

Consideremos ahora dos triángulos rectos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ , de tal manera que el $\angle ABC$ y $\angle A'B'C'$ son ángulos rectos. De ello se deduce que $\angle ABC = \angle A'B'C'$ .

Supongamos también que $\angle CAB = \angle C'A'B'$ . Aplicando el Teorema 1, se deduce que $\angle BCA = \angle B'C'A'$ . Por tanto, las hipótesis del Teorema 2 se han verificado, por lo que sus conclusiones son ciertas. A partir de la ecuación $$\text{Length}(\overline{BC}) \bigm/ \text{Length}(\overline{B'C'}) = \text{Length}(\overline{CA}) \bigm/ \text{Length}(\overline{C'A'}) $$ deducimos, con un poco de álgebra, que $$\text{Length}(\overline{BC}) \bigm/ \text{Length}(\overline{CA}) = \text{Length}(\overline{B'C'}) \bigm/ \text{Length}(\overline{C'A'}) $$ En palabras, esto dice que si en el triángulo $ABC$ dividimos la longitud del lado opuesto al ángulo $A$ por la longitud de la hipotenusa, y en el triángulo $A'B'C'$ dividimos la longitud del lado opuesto al ángulo $A$ por la longitud de la hipotenusa, obtenemos el mismo número. Ese número es el seno del ángulo $A$ .

Esto demuestra que el seno de un ángulo está bien definido independientemente del triángulo rectángulo que utilicemos para su cálculo.

Answer 2

Deberías buscar la similitud. En particular, la semejanza de triángulos, y especialmente de triángulos rectos.

Debido a que dos triángulos rectángulos cualesquiera que contengan el mismo ángulo son similares, las funciones sólo dependen del ángulo en cuestión.

En cuanto a por qué triángulos rectos. ¿Por qué no, por ejemplo, los triángulos isósceles, ya que éstos también permiten definir una determinada función trigonométrica del ángulo del vértice de forma única, especialmente porque son simétricos lateralmente? Bueno, no hay ninguna razón por la que no se pueda hacer eso; de hecho, el primer compilador de tablas trigonométricas las compiló para triángulos isósceles, y las llamó acordes del ángulo del vértice. Sin embargo, se puede argumentar que eso no sería tan fundamental como utilizar triángulos rectos por la sencilla razón de que, mientras que no todos los triángulos pueden dividirse en dos triángulos isósceles, todos pueden dividirse siempre en dos triángulos rectos. Esto simplifica las cosas. NB. Lo que se llamaba la cuerda de $x$ es ahora el doble del seno de $x/2.$