¿Existe una variable aleatoria$X$ con un apoyo positivo tal que la proporción de la realización más pequeña y la segunda más pequeña de una muestra de iid sea de una?

Question

Ya he hecho esta pregunta en las matemáticas.stackexchange, pero sólo recibió una respuesta incorrecta;

Para la referencia, véase Puede la relación de los más pequeños y el 2º elemento más pequeño de un alcoholímetro de la muestra convergen a 1 si el soporte de X es positivo?

Imagine que tiene dada una variable aleatoria $X$ con supp$(X)=(0,\infty)$ e $\mathbb P(X \in (0,a))>0$ para cualquier fija $a>0$ (por lo que no hay valor mínimo, pero el mínimo de una muestra convergen a cero a medida que la muestra crece grande)

Ahora, dado un alcoholímetro de la muestra $X_1,...,X_n$ - es posible que

$$X^{(2)}/X^{(1)}\xrightarrow{\mathbb P}1$$ for $n \to \infty$, where $X^{(i)}$ describes the $i$-ésimo elemento más pequeño, por lo que nos cuenta la proporción entre el segundo más pequeño y el más pequeño elemento de la muestra;

Básicamente, estoy interesado si existe alguna $X$ tal que esta relación converge a uno; (dado el apoyo, como se describe más arriba)

Mi idea:

Creo que esto no existe, ya que para dos iid muestras $X_1,...,X_n$ e $Y_1,...,Y_n$ todos los distribuye como $X$ sabemos de la Fisher–Tippett–Gnedenko teorema, que $X^{(1)}/b_n \xrightarrow{D}X$ con $X$ tener algunos valores extremos de la distribución. Por lo tanto,

$$X^{(1)}/Y^{(1)}=\frac{X^{(1)}/b_n}{Y^{(1)}/b_n}\sim X/Y,$$

donde $X$ e $Y$ son independientes y se distribuyen de acuerdo a algunos valores extremos de la distribución(Suponiendo que las dos muestras son independientes, por supuesto)

Ahora el orden de las estadísticas obviamente no son independientes, pero lógicamente, aún así no debe ser posible que la relación converge;

He leído algunos artículos, por ejemplo, si $X$ es distribuido uniformemente en un intervalo [0,a], entonces la proporción llega incluso hasta el infinito, pero quiero más general resultado - no asumiendo ningún tipo de distribución de $X$;

Alguien alguna idea de cómo acercarse a este?

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Bueno, voy a tratar algunos feo croquis de la prueba; Imagine $X^{(2)}/X^{(1)}$ converge a 1 en probabilidad; Luego de ello se sigue que también para cualquier fija $k$ que $X^{(k)}/X^{(k-1)} \xrightarrow{\mathbb P}1$ y, en particular, tenemos: $$X^{(k)}/X^{(1)} \xrightarrow{\mathbb P}1$$

Por lo tanto, la división de la muestra aleatoria de tamaño $n$ al azar en dos muestras de tamaño $n/2$, la probabilidad de que todos los $X^{(1)},...,X^{(k)}$ están en una submuestra es $\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$; por lo tanto, ya podemos elegir cualquier $k$, podemos suponer que ambas muestras tienen algún realización de $X^{(1)},...,X^{(k)}$;

Por lo tanto, para dos iid conjuntos de $X_1,...,X_n$ e $Y_1,...,Y_n$ debemos tener:

$$X^{(1)}/Y^{(1)}\xrightarrow{\mathbb P}1$$

Esto, sin embargo, es una contradicción a la de Fisher–Tippett–Gnedenko teorema desde $\mathbb P (X^{(1)}/b_n \leq x) \xrightarrow{D}F(x) $ para algunos extrema de la distribución de valores de y dado que la muestra $Y_1,...,Y_n$ es iid e independiente de la muestra $X_1,...,X_n$ también contamos $\mathbb P (X^{(1)}/b_n \leq x) \xrightarrow{D}F(x) $ y en el total de

$$X^{(1)}/Y^{(1)}=\frac{X^{(1)}}{b_n}/\frac{Y^{(1)}}{b_n} \xrightarrow{D}X/Y$$ where $X$ and $$ Y son dos independientes, idénticamente distribuidas al azar variables que tienen algunos valores extremos de la distribución; En particular, la relación no converge a uno;

Es esto una prueba de croquis válido? O no contienen errores importantes?

Answer 1

Sí, hay una de esas distribuciones donde la proporción de la segunda-la más pequeña hasta la más pequeña de los valores de los enfoques de la unidad en la probabilidad como el tamaño de la muestra crece grande. Tienen que comportarse "esencialmente" como distribuciones son estrictamente positivos en el sentido de acercarse a cero probabilidad muy, muy rápidamente, en el origen. Véase la primera figura a continuación para una ilustración.

(Yo confían en que la correcta intuición de que cuando la distribución tiene una estrictamente positivo mínimo, al final, los dos más pequeños valores en las grandes muestras de tanto estar cerca de ese mínimo, con alta probabilidad, donde su relación de los enfoques de la unidad. Esta intuición no funciona cuando el mínimo es cero.)

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Para mayor comodidad, vamos a trabajar con independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias $X_i$ con distribuciones continuas. Esto significa que ellos tienen en común la densidad de $f$ e $F(x)=F(0)+\int_0^x f(t)\mathrm{d}t$ es común de la función de distribución.

La pregunta se refiere a la más pequeña de dos de los primeros a$n$ de estas variables, $X\lt Y,$ donde $n$ va a crecer arbitrariamente grande. La distribución conjunta de las dos más pequeños valores de entre ellos, tiene una densidad de

$$f_{n;2}(x,y) = n(n-1)f(x)f(y)\left(1-F(y)\right)^{n-2}$$

para todos los $0\le x\le y.$ la Introducción de una variable $u$ definido por

$$x = uy$$

para representar la relación de $x/y\le 1,$ el cambio de las variables de $(x,y)$ a $(u,y),$ la integración de $u=0$ a $u=r$ (que puede ser expresada en términos de $F$), y la integración sobre todos los posibles valores de $y$ nos dará la función de distribución de la proporción de $U=X/Y$ como

$$\Pr(U \le r) = n(n-1)\int_0^\infty f(y)F(ry)(1-F(y))^{n-2}\,\mathrm{d}y$$ for $0 \le r \le 1.$

Esta expresión será el objeto de nuestro análisis.

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En algunos casos la distribución de $U$ es fácil de evaluar. A pesar de esto, la siguiente sección es una desviación, revela un proceso de pensamiento que conduce a una respuesta.

Tomemos, por ejemplo, $$F_p(y) = y^p$$ for $0\le y\le 1$ where $p\gt 0.$ I obtain an answer that does not vary with $n$ at all: for possible ratios $0\le r \le 1,$

$$\Pr(U \le r) = r^p.\tag{1}$$

Esto indica que cualquier distribución $F$ que se comporta como $F(y)\approx y^p$ cerca del origen, se producirán algo como esto de distribución de energía para la relación; en particular, no convergen a $1$ en la probabilidad.

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Como $p$ crece grande, $(1)$ hace converger al valor constante de $1$ en la probabilidad. En otras palabras, aunque no hemos encontrado ningún distribuciones donde la relación de $U$ enfoques $1$, tenemos una familia de distribuciones de donde esta relación puede ser realizado como cierre a $1$ como nos gustaría por la elección de un adecuado miembro de la familia (es decir, mediante la selección de la potencia de $p$ ser lo suficientemente grande). Por lo tanto, podríamos considerar distribuciones de donde, en el origen, $F$ es más plana que la de cualquier polinomio. El clásico, y uno de los más simples, tales funciones se

$$F(x) = \exp\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$$

para $0 \le x \le 1.$

Obviamente su apoyo se extiende hacia abajo a $0,$ debido a la exponencial nunca es cero. $F$ es infinitamente diferenciable en a$0$ pero todos los derivados son cero allí.

En este caso la integral de $\Pr(U\le r)$ todavía pueden ser evaluados. Es más sencillo para expresar el resultado en términos de $s \ge 1,$ donde $$1/s^2 = r,$$ como

$$\Pr(U \le r) = \Pr(U \le 1/s^2) = \frac{e^{1-s}n!}{(1+s)^{(n-1)}}= s\,e^{1-s}\frac{1^{(n)}}{s^{(n)}}\tag{2}$$

donde

$$s^{(n)} = s(1+s)(2+s)\cdots(n-1+s)$$

es el Pochhammer función. Aquí están las parcelas de esta probabilidad (como una función de la $s$) $n=2, 2^2, 2^{2^2}, 2^{2^3},$ e $2^{2^4}.$ Los gráficos caída hacia un nivel de cero como $n$ aumenta:

Es fácil demostrar que para todos los $z = s-1 \gt 0,$

$$\frac{1^{(n)}}{s^{(n)}} = \frac{1^{(n)}}{(1+z)^{(n)}} = \frac{1}{1+z}\frac{2}{2+z}\frac{3}{3+z}\cdots\frac{n}{n+z} \to 0$$

como $n$ crece grande. (Examinar la serie de MacLaurin de su logaritmo.) Por lo tanto, para todos los $s=1+z \gt 1,$ $(2)$ va a la $0,$ lo que demuestra la relación de $U$ enfoques de la constante de $1$ en la probabilidad.