Hay otra fuerza fundamental de la naturaleza, aparte de la electromagnética y la fuerza gravitacional. Esta es la fuerza nuclear fuerte. Su presencia está entre las interacciones de protones y de neutrones a sí mismos o entre los protones y los neutrones.
Por desgracia, la fuerza fuerte no tiene efectos macroscópicos como para sentir la interacción de los mismos debido a que el rango típico donde son más fuertes que las interacciones electromagnéticas está en el rango de femtometres ($10^{-15}\ \mathrm m$).
En esas situaciones, la fuerza fuerte es más fuerte que la repulsión electromagnética entre los protones para mantenerlos juntos.
En cuanto a tu segunda pregunta en el propio núcleo de viajar a la de los electrones, si piensas en términos de el centro de la masa, el núcleo tiene una masa mayor que la de los electrones y por lo que el centro de masa del sistema sería el más cercano al núcleo de lo que es el electrón. Pero en este caso, el centro de masa es probable que sea en el propio núcleo, por lo que es una idea factible decir que el electrón reveolves alrededor del núcleo. Aunque es correcto decir que el electrón gira en torno a la combinación de centro de masa del sistema.
EDIT: Hay algo que tengo que añadir en la integridad -
Como @dmckee ha señalado en su comentario, el fuerte nucleares de la fuerza no es fundamental por sí mismo (me disculpo) sino que es el resultado de una fundamental la interacción nuclear fuerte originados entre los gluones y quarks que constituyen estos protones y neutrones.
Pero, esencialmente, la fuerza nuclear fuerte surge de esta interacción. Y, por tanto, el núcleo es estable desde electromangetic repulsión debido a la carga de los protones llevar.