Evaluando el Determinante usando el Teorema de Cayley-Hamilton

Question

A es no singular matriz cuadrada de orden 2 tales que |a + |a|adjA| = 0, donde adjA representa adjunto de la matriz a, y |A| representa det(A) (determinante de la matriz a)

Evaluar |a – |a|adjA|.

Creo que esto puede ser resuelto mediante la Cayley Hamilton Teorema, pero no estoy seguro exactamente cómo proceder para encontrar el valor de la determinante. La motivación detrás de mi pensamiento era la apariencia de |A - kI| = 0 en el factor determinante para ser evaluados, donde k es una constante.

#1 por supuesto, |A|adjA puede ser reducido a |A|2 a^-1, lo que nos deja con |a + |a|2^-1|. No sé cómo lo tome de aquí. Una solución detallada el uso de Cayley Hamilton teorema se agradece.

#2 me imagino que para una matriz cuadrada de orden n, el factor determinante será igual a n2. Podría alguien por favor ayude a demostrar o refutar el resultado, por la generalización de una matriz de nxn?

Muchas gracias!

Answer 1

$\text{adj A}=|A|A^{-1}$, al menos cuando$A$ no es singular, así que$$A-|A|\text{adj A}=A-|A|^2A^{-1}=A^{-1}(A-|A|I)(A+|A|I).$ $ El determinante de esto es$$|A|^{-1}\chi(|A|)\chi(-|A|)$ $ donde$\chi(x)=\det(A-xI)$ es el polinomio característico de$A$. Si escribimos$\chi(x)=x^2-tx+|A|$ (donde$t$ es la traza de$A$) entonces$\chi(\pm |A|)=|A|(1\mp t+|A|)$ etc.

Answer 2

Podemos tomar su expresión $|A + |A|^2A^{-1}| = 0$, observando que hemos asumido que $A$ es invertible, y encontrar que $$ |A| \cdot |a + |a|^2A^{-1}| = 0 \implica\\ |(A + |a|^2A^{-1})| = 0 \implica\\ |A^2 + |A|^2I| = 0 $$ En otras palabras, si $A$ es invertible, entonces la condición dada es equivalente a decir que la $-|A|^2$ es un autovalor de a $A^2$, lo cual es cierto si y sólo si $i|A|$ o $-i|A|$ es un autovalor de a $A$ (si $A$ es una verdadera matriz, entonces ambos deben ser autovalores). Ya que el producto de los valores propios de a$A$$|A|$, se puede determinar tanto los autovalores de a $A$, lo que nos permite evaluar $$ |A - |a|\operatorname{adj}(A)| = \frac{|A^2 - |A|^2I|}{|A|} $$ En el $n \times n$ de los casos, no debemos esperar que saber $|A + |A|^2A^{-1}| = 0$ es suficiente información para determinar el $|A - |A|\operatorname{adj}(A)|$. En el caso en que $|A| = 0$ debe ser tratado por separado, pero tal vez la continuidad argumentos suficientes.

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Así, hemos determinado que los autovalores de a $A$ son $i|A|$ $-i$ o $-iA$$i$. Calculamos $$ |A^2 - |A|^2 I| = \prod_{i=1}^2(\lambda_i^2 - |A|^2) = (-1 - |A|^2)(-|A|^2 - |A|^2) = 2|A|^2(1 + |A|^2) $$