función generatriz

Question

Wolfram alpha me dice que la función de generación ordinaria de la secuencia$\{\binom{3n}{n}\}$ viene dada por$$\sum_{n} \binom{3n}{n} x^n = \frac{2\cos[\frac{1}{3}\sin^{-1}(\frac{3\sqrt{3}\sqrt{x}}{2})]}{\sqrt{4-27x}}$ $ ¿Cómo demuestro esto?

Answer 1

Como ya se mencionó en la sección de comentarios de la de Lagrange de la Inversión de la Fórmula es un método apropiado para demostrar esta identidad. En la siguiente puedo usar la notación de R. Sprugnolis (et al) papel de Lagrange de la Inversión: ¿cómo y cuándo.

Supongamos que un poder formal de la serie de $w=w(t)$ está implícitamente definido por una relación de $w=t\Phi(w)$ donde $\Phi(t)$ es un poder formal de la serie tal que $\Phi(0)\ne0$. El Lagrange de la Inversión de la Fórmula (LIF) establece que:

$$[t^n]w(t)^k=\frac{k}{n}[t^{n-k}]\Phi(t)^n$$

Hay varias variaciones de la LIF se indica en el documento. Utilizamos en el siguiente $G6$:

Deje $F(t)$ ser cualquier poder formal de la serie y $w=t\Phi(w)$ como antes, entonces lo siguiente es válido:

\begin{align*} [t^n]F(t)\Phi(t)^n=\left[\left.\frac{F(w)}{1-t\Phi'(w)}\right|w=t\Phi(w)\right]\tag{1} \end{align*}

Nota: La notación $[\left.f(w)\right|w=g(t)]$ es una linealización de $\left.f(w)\right|_{w=g(t)}$ y denota la sustitución de $g(t)$ a cada aparición de $w$ $f(w)$ (es decir, $f(g(t))$). En particular, $w=t\Phi(w)$ es para ser resuelto en $w=w(t)$ $w$ tiene que ser sustituido en la expresión de la izquierda de la $|$ signo.

Podemos demostrar la siguiente identidad

\begin{align*} \sum_{n\ge0}\binom{3n}{n}t^n=\frac{2\cos\left[\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}\sqrt{t}}{2}\right)\right]}{\sqrt{4-27t}}\tag{2} \end{align*}

$$ $$

Deje $F(t)=1$$\Phi(t)=(1+t)^3$.

Desde $$t\Phi'(w)=3t(1+w)^2=\frac{3t\Phi(w)}{1+w}=\frac{3w}{1+w}$$ obtenemos \begin{align*} \binom{3n}{n}&=[t^n]F(t)\Phi(t)^n=[t^n](1+t)^{3n}\\ &=[t^n]\left[\left.\frac{1}{1-t\Phi'(w)}\right|w=t\Phi(w)\right]=[t^n]\left[\left.\frac{1+w}{1-2w}\right|w=t\Phi(w)\right]\\ \end{align*} Vamos \begin{align*} A(t):=\sum_{n\ge0}\binom{3n}{n}t^n=\left.\frac{1+w}{1-2w}\right|_{w=t\Phi(w)} \end{align*} Expresan $A(t)=\frac{1+w}{1-2w}$ en términos de $w$, obtenemos $$w=\frac{A(t)-1}{2A(t)+1}$$ Desde $w=t\Phi(w)=t(1+w)^3$, obtenemos \begin{align*} \frac{A(t)-1}{2A(t)+1}=t\left(1+\frac{A(t)-1}{2A(t)+1}\right)^3 \end{align*}

que se simplifica a:

\begin{align*} (4-27t)A(t)^3-3A(t)-1=0\tag{3} \end{align*}

Con el fin de obtener la CARTA de las $(2)$ que en primer lugar analizamos la estructura de $(3)$ que es

$$f(t)A(t)^3-3A(t)=1$$

con $f(t)$ lineal y observar una similitud de esta estructura con la identidad

$$4\cos^3{t}-3\cos{t}=\cos{3t}$$

Utilizamos el Ansatz:

$$A(t) := \frac{2\cos\left(g(t)\right)}{\sqrt{4-27t}}$$

y obtener \begin{align*} (4-27t)&A(t)^3-3A(t)=\\ &=\frac{8\cos^3\left(g(t)\right)}{\sqrt{4-27t}}-\frac{6\cos\left(g(t)\right)}{\sqrt{4-27t}}=\\ &=\frac{2\cos\left(3g(t)\right)}{\sqrt{4-27t}}\\ &=1 \end{align*} Desde \begin{align*} 2\cos\left(3g(t)\right)&=\sqrt{4-27t}\\ 4\cos^2\left(3g(t)\right)&=4-27t\\ \sin^2\left(3g(t)\right)&=\frac{27}{4}t\\ \end{align*} tenemos \begin{align*} g(t)&=\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3t}}{2}\right)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\Box \end{align*}

y la conclusión de la identidad de $(2)$ es válido.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario: Mediante la investigación de la serie de la forma $S_a(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{an\choose n}~x^n$, nos damos cuenta de que — en general — se obtiene un $($ generalizada $)$ función hipergeométrica de argumento $\dfrac{a^a}{(a-1)^{a-1}}~x$, lo que naturalmente nos lleva a sospechar que más bien deberíamos estar inspeccionando los valores de la misma expresión para $x(t)=\dfrac{(a-1)^{a-1}}{a^a}~t$. Tomando en consideración el hecho de que $\displaystyle\lim_{u\to0}u^u=1$, tenemos

$$\begin{align} S_{-1}\Big(x(t)\Big)~&=~\frac1{\sqrt{1-t}} \\\\ S_{-1/2}\Big(x(t)\Big)~&=~\frac{\cos\bigg(\dfrac{\arcsin t}3\bigg)+\dfrac1{\sqrt3}~\sin\bigg(\dfrac{\arcsin t}3\bigg)}{\sqrt{1-t^2}} \\\\ S_0\Big(x(t)\Big)~&=~0 \\\\ S_{1/2}\Big(x(t)\Big)~&=~1-i~\frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \\\\ S_1\Big(x(t)\Big)~&=~\frac1{1-t} \\\\ S_{3/2}\Big(x(t)\Big)~&=~\frac{\cos\bigg(\dfrac{\arcsin t}3\bigg)+\sqrt3~\sin\bigg(\dfrac{\arcsin t}3\bigg)}{\sqrt{1-t^2}} \\\\ S_2\Big(x(t)\Big)~&=~\frac1{\sqrt{1-t}} \\\\ S_3\Big(x(t)\Big)~&=~\frac{\cos\bigg(\dfrac{\arcsin\sqrt t}3\bigg)}{\sqrt{1-t}} \end{align}$$