¿Caracterización functorial de subschemes abiertos?

Question

Dado un morfismos de esquemas f: U → X, se puede determinar si f es un isomorfismo de U en un abrir subscheme de X en términos de algunos inducida por functors entre las categorías de quasicoherent módulos Qcoh(U) y Qcoh(X)?

---

Para empezar, podría ser útiles para simplemente suponga que U ⊆ X es un abierto subscheme, y considerar algunas propiedades de la resultante de functors. No puedo pensar en una interesante functor: hay un functor exacto Qcoh(X) → Qcoh(U) dado por la restricción de las poleas. Supongo que esto es un caso especial de algunos de los más generales de construcción (directa o inversa de la imagen functor?) que probablemente tiene un adjunto en algún lado.

Podemos seguir la lista de suficiente functors y propiedades de estos functors hasta el punto de que se han determinado con precisión, cuando el mapa de arriba f es un isomorfismo en un abrir subscheme?

Answer 1

El abelian categoría de quasicoherent poleas en los esquemas de determinar el esquema. Esta es una vieja resultado de Gabriel ("des categorías abeliennes" 1962), resultó en todos los casos por Rosenberg. Esto significa que, QCoh(X) no sólo te dice el abierto subschemes de X, pero también le da la estructura de la gavilla ! He conocido a este resultado por algún tiempo pero nunca me había mirado en detalle hasta el día de hoy. Voy a esbozar lo que hemos aprendido con la esperanza de no equivocarse...

Un abelian subcategoría B de un abelian de la categoría a se dice que es una gruesa subcategoría si es completa y exacta de la secuencia en Un

0 ---> M'---> M ---> M" ---> 0

M pertenece a B si, y sólo si M' y M" hacer.

Si B es una gruesa subcategoría de Una no está bien definida la localización A/B, que es de nuevo una abelian categoría. A/B tiene los mismos objetos y morfismos f:M--->N en a/B es un isomorfismo si y solo si ker f y coker f pertenecen a B.

Sea T: - - - > A/B ser la localización functor. Entonces B se dice que es la localización de la subcategoría , si B es gruesa y T tiene derecho adjuntos. La condición de la localización puede ser reformulado sólo en términos de a y B. consulte Gabriel tesis sobre a (proposición 4 en el capítulo III).

Por último, si M es un objeto de A, denotamos por <M> el más pequeño de la localización de la subcategoría que contienen M.

Ahora vamos X un esquema, j:U ---> X un abierto de incrustación y yo:Y ---> X cerrado el complemento. Luego hay un montón de adjunctions entre las categorías de quasicoherent gavillas de U,X,Y: i_* :QCoh(Y) ---> QCoh(X) tiene una izquierda adjunto i^* :QCoh(X) ---> QCoh(Y) y un derecho adjoint yo^! :QCoh(X) ---> QCoh(Y). Por otro lado, el functor j^* :QCoh(X) ---> QCoh(U) tiene un adjunto a la izquierda j_! :QCoh(U)--->QCoh(X) y un derecho adjoint j_* :QCoh(U) ---> QCoh(X). Esto a veces se llama un recollement.

Supongamos que X es Noetherian y sea a = QCoh(X). Tenemos una secuencia exacta de abelian categorías

0 ---> QCoh(Y) - - - > - - - > QCoh(U) ---> 0

en el sentido de que la categoría QCoh(Y) que pasa por ser una de la localización de la subcategoría de Una y su cociente es identificado con QCoh(U). El primer mapa en la secuencia exacta es i_* y la segunda, j^* . Por otra parte, creo que QCoh(Y) es el más pequeño de la localización de la subcategoría de QCoh(X) que contiene i_* O_Y. Gabriel demuestra que no hay más dicha en la localización de las subcategorías, que se cierra subschemes de X corresponden exactamente a la localización de las subcategorías <M> generado por un único coherente gavilla (es decir, Noetherian objeto en Una). Por otra parte, irreductible subconjuntos cerrados (los puntos en los que subyacen espacio topológico de X) está dada por la localización de las subcategorías <I> para que me de un indecomposable inyectiva. Hemos descrito los puntos de X y sus conjuntos cerrados en términos de sólo la categoría A, para que podamos recuperar el subyacente espacio topológico de X de A.

En particular, en un abrir subscheme U de X da un complementarios cerrados subscheme Y, que está en correspondencia con la localización de la subcategoría <M> y, por otra parte, QCoh(U) = A/<M>. Así que, respondiendo a la cuestión anterior, para cualquier f:U ---> X, U es un abierto subscheme si, y sólo si el núcleo de f^* :QCoh(X) ---> QCoh(U) es una localización de la subcategoría de la forma <M> para una coherente gavilla M.

Con respecto a la estructura de la gavilla O_X hay un isomorfismo O_X(U) y el anillo de endomorfismo de la identidad functor en QCoh(U) (que pasa a ser Un/QCoh(Y)), por lo que la estructura de la gavilla sólo pueden ser recuperados en términos de la categoría A.

Por último, sólo decir que hay otros resultados en el espíritu de la reconstrucción de un esquema de algunos categoría de poleas. Este es el punto de partida para el uso de tales categorías de poleas como una definición de no conmutativa esquema. Hay más información en esta entrada en nlab.