Condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea una matriz de correlación válida.

Question

No es demasiado difícil ver que cualquier matriz de correlación deben tener ciertas propiedades, como todas las entradas en el rango de -1 a 1, simétrica positiva semi-definida (excluyendo los casos patológicos como singular matrices por el momento).

Pero me pregunto acerca de la otra dirección. Si me escribe algunas matriz que es positivo semi-definido, es simétrica, tiene 1 a lo largo de la diagonal principal, y todas las entradas están entre -1 y 1, ¿esto garantiza que exista un conjunto de variables aleatorias que da lugar a que la matriz de correlación?

Si la respuesta es fácil de ver, una sugerencia acerca de cómo definir el conjunto de variables aleatorias que daría lugar a una matriz dada, se agradecería.

Answer 1

Sí, aunque la restricción de que todas las entradas están entre los $-1$ $1$ está implícito en el resto de propiedades (y por lo tanto no es necesario).

Deje $\Sigma$$n \times n$, simétrica positiva semidefinite matriz con $1$'s a lo largo de la diagonal principal.

En primer lugar, $\Sigma$ es una matriz de covarianza. Desde $\Sigma$ es simétrica y positiva semidefinite, $\Sigma$ tiene un no negativa simétrica de la raíz cuadrada $\Sigma^{1/2}$. Deje $X$ $n$- vector de variables aleatorias independientes, cada una con varianza $1$. (Por ejemplo, $X$ $n$- vector independiente $N(0,1)$ variables aleatorias.) Construcción de la $n$-vector $\Sigma^{1/2} X$. Entonces, por las propiedades de las matrices de covarianza, $$\text{cov} (\Sigma^{1/2} X) = \Sigma^{1/2} \text{cov}(X) \Sigma^{1/2} = \Sigma^{1/2} I \Sigma^{1/2} = \Sigma.$$ Thus $\Sigma$ is the covariance matrix for the random vector $\Sigma^{1/2} X$. (Esta derivación es en el artículo de la Wikipedia para matrices de covarianza.)

Segundo, dado que la $\Sigma$ $1$'s en su diagonal, la desviación estándar de cada variable aleatoria en $\Sigma^{1/2} X$$1$. Por lo tanto la matriz de correlación $R$ para el vector aleatorio $\Sigma^{1/2} X$ es $$R = I^{-1} \Sigma I^{-1} = \Sigma.$$ Thus $\Sigma$ es una matriz de correlación así.