¿Es la palabra "vacía" en la teoría de conjuntos diferente de la palabra "vacía" en el lenguaje ordinario?

Question

Yo desnatada sobre esta cuestión Es el conjunto vacío un subconjunto de sí mismo?, y actualmente estoy bajo la impresión de que es una creencia generalizada de que el conjunto vacío que contiene en sí. Pero una contradicción parece surgir: si el conjunto vacío que contiene en sí, es NO vacío. Después de todo, si llamamos a un conjunto no vacío sólo porque contiene el conjunto vacío, entonces ¿por qué deberíamos tratar el conjunto vacío de sí mismo de forma diferente?

Entonces se me ocurrió que tal vez los matemáticos definen el "vacío" de manera diferente en la teoría de conjuntos. Tal vez por "conjunto vacío" que significa "un conjunto que contiene en sí", en lugar de un "conjunto que contiene absolutamente nada".

Es mi suposición correcta?

Answer 1

Creo que se están confundiendo dos posibles significados de "contiene". A menudo decimos $A$ contiene $B$ a la media de $B$ es un elemento de $A$ (pero véase más abajo). En este sentido, $\varnothing$ no contiene en sí mismo, porque no tiene elementos. (También, no hay ningún conjunto es un elemento de sí mismo.)

Sin embargo, $\varnothing$ es un subconjunto de sí mismo, porque no contiene ningún elemento fuera de sí mismo. Por la misma lógica, cada conjunto es un subconjunto de sí mismo.

Para ver la diferencia en que no vacía de conjuntos, $\{1\}$ es un subconjunto de a $\{1,2\}$ pero $\{1,2\}$ no contiene $\{1\}$. Contiene $1$, pero que no es la misma cosa.

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Sobre el uso de "contiene", wikipedia dice:

Las expresiones "incluye x" y "a contiene x" también se utiliza para referirse a la pertenencia, sin embargo, algunos autores los utilizan para decir "x es un subconjunto de Una". Lógico George Boolos instó a que "contiene" se utiliza para que los miembros sólo e "incluye" para el subconjunto sólo relación.

Answer 2

El problema aquí es que usted está usando la palabra "contiene" para dos cosas diferentes:

• Al $x$ es un elemento de un conjunto a $A$, escribimos $x\in A$ y a veces digo "$A$ contiene $x$".
• Al $B$ es un subconjunto de a $A$, escribimos $B\subseteq A$ y también a veces dicen "$A$ contiene $B$".

Este es un problema común y generalmente se puede determinar por el contexto, ya que de los dos tipos de contención se refiere.

Con el conjunto vacío, es siempre falso que $x\in\varnothing$, es decir, el conjunto vacío no tiene elementos, es vacío.

Sin embargo, tiene un subconjunto: $\varnothing\subseteq\varnothing$ es cierto. ¿Por qué es eso? Bien, $B\subseteq A$ significa que siempre que $x$ es un elemento de $B$ también es un elemento de $A$, o en otras palabras, $A$ contiene (como elementos), al menos, todos los elementos de a $B$. En particular, $\varnothing\subseteq X$ es cierto para cualquier conjunto de $X$, ya que no hay elementos en $\varnothing$ que tiene que estar contenida en $X$ a todos.

Answer 3

$A\subseteq B$ no es lo mismo como $A\in B$. El primero se dice que también son todos los elementos de $A$ $B$. Que éste entiende el conjunto de $A$ es un elemento de $B$. Así $B={\,A,\dots\,}$.

Por lo tanto es correcto decir $\emptyset\subseteq\emptyset$ pero no $\emptyset\in\emptyset$ desde el conjunto vacío no tiene elementos.