Muestran que

Question

Supongamos que $f$ es holomorphic en el interior y en $\gamma(0;1)$, el círculo centrado en $0$ radio $1$, con una expansión de Taylor $\sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n$. Dado que el $f$ $m$ ceros dentro de $\gamma(0;1)$, demostrar que $$\min \{ |f(z)| : |z|=1 \} \leq |c_0| + |c_1|+ \dots + |c_m|$$

Yo realmente no sé cómo empezar. A partir de la hipótesis sabemos que

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma(0;1)}\frac{f'(z)}{f(z)} dz =m$$ pero no estoy seguro de si este hecho es útil a todos. Tal vez debería aprovechar la expansión de la serie de $f(z)$, pero no he llegado a algo. Cualquier ayuda será muy apreciada, y gracias de antemano!

Answer 1

Agradezco mucho a @Ve-Woo Lee, que ha indicado el camino correcto para demostrar el problema, es decir, por la contradicción.

Deje $f(z)=p(z)+q(z)$$\begin{cases}p(z)&=&\sum_{n=0}^{m}c_nz^n\\q(z)&=&\sum_{n=m+1}^{\infty} c_nz^n \end{cases}$.

Deje $U$ ser la unidad de disco y $\partial U$ ser el círculo unidad.

Vamos a demostrar el resultado de la contradicción.

Supongamos lo contrario de lo que ha de ser probada, es decir, que

$$\forall z \in \partial U, \ |f(z)| > |c_0| + |c_1|+ \dots + |c_m|$$

por lo tanto, a fortiori

$$\forall z \in \partial U, \ |f(z)| > |c_0 + c_1 z+ \dots + c_m z^m|=|p(z)|=|f(z)-q(z)|$$

Utilizando el teorema de Rouché, $f(z)$ $f(z)-q(z)=p(z)$ tienen el mismo número de ceros en el interior de la unidad de disco $U$, es decir, $m$ ceros.

Pero $q(z)=z^{m+1}r(z)$ donde $r(z)$ es un holomorphic función; por lo tanto $q(z)$ al menos $m+1$ ceros en $U$, una contradicción con la frase anterior.