¿Por qué un término proporcional al $\left(F,\,\tilde{F}\right)\propto Tr\left[ F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}\right]$ en el Lagrangiano de la teoría de Yang-Mills pura viola CP?
Respuestas
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Si escribimos la fuerza del campo en términos de campos "eléctrico" y "magnético" $\vec{E}$ y $\vec{B}$, la expresión correspondiente se puede escribir como
$$\text{Tr}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}=4\,\text{Tr}\vec{E}\cdot\vec{B}.$$.
Bajo las transformaciones de la paridad, $\vec{E}\rightarrow-\vec{E}$ y $\vec{B}\rightarrow\vec{B}$, mientras que el bajo Conjugación de carga, $\vec{E}\rightarrow-\vec{E}$ y $\vec{B}\rightarrow-\vec{B}$. En conjunto, esto conduce a un comportamiento de la transformación del término en el Lagrangiano bajo $CP$-las transformaciones dadas
$$\text{Tr}F_{\mu\nu}\tilde{F}\rightarrow-\text{Tr}F_{\mu\nu}\tilde{F}.$$
Esto muestra claramente que el término no es invariante.
Robin Ekman
Puntos
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Las medidas habituales para la teoría de Yang-Mills es, usando formas diferenciales $$S = \int \operatorname{tr} (F \wedge \star F)$ $ $\star$ Dónde está el dual de Hodge. Ahora tenga en cuenta que la integral de una forma diferencial se define siempre con respecto a la orientación y el Hodge dual se define con respecto a una orientación. Paridad es invertir la orientación, que cambia el signo de la integral y el Hodge dual, para cancelación las señales.
Sin embargo el término $$S_\theta = \int \theta \operatorname{tr} (F \wedge F)$$ only has one sign change when you reverse the orientation, so it is not $invariante de P % $.
