Doble función periódica completa

Question

Supongamos que f es entera y $f(z)=f(z+1)=f(z+\pi)$ . ¿Implica esto que $f$ es constante?

Quiero demostrar que es constante.Veo que basta con considerar el valor de $f(z)$ entre líneas $z=1$ y $z=-1$ . Claramente $f$ no tiene un poste en $\infty$ (ir a $\infty$ a lo largo de la línea real). Sólo necesito demostrar que no tiene singularidad esencial en $\infty$ . Pero no puedo seguir adelante, además no estoy utilizando la segunda condición. Cualquier ayuda es muy apreciada. Además, no estoy seguro de que la respuesta sea afirmativa.

Answer 1

Sí, es constante. Para verlo, hay que considerar el subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$ generado por $1$ y $\pi$ . Resulta que este subgrupo no tiene ningún elemento positivo más pequeño: Si $x$ fuera un elemento más pequeño, entonces tomamos el menor $n \in \mathbb{N}$ tal que $nx>1$ o $nx>\pi$ . Tal $n$ existe, porque si no, entonces $\pi$ sería racional. Entonces $nx -1$ o $nx - \pi$ sería menor que $x$ .

Por lo tanto, el grupo no tiene ningún elemento más pequeño, y por lo tanto es denso en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $f$ es constante en cada línea horizontal, y por tanto globalmente constante, por una simple aplicación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Answer 2

Toma $g(z)=f(z+1)-f(z)$ y una secuencia $z_n=\frac{1}{n}$ entonces $g(1/n)=f(\frac{1}{n}+1)-f(\frac{1}{n})=0$ significa $g(z)$ es cero en el $nbd.$ de $z=0$ . Utilice el teorema de la identidad para obtener $g(z)\equiv 0$ lo que implica $f(z)$ es constante.