En la mecánica cuántica unidimensional, parece que el único tipo de potencial capaz de producir un espectro "equidistante", es decir, con $E_{n+1}-E_{n}=\text{constant}$ es el oscilador armónico.
¿Por qué? ¿Y hay alguna forma de probarlo?
Respuestas
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Cualquier "oscilador armónico", visto como el segundo operador de cuantificación $$d\Gamma(1)=\int a^*(k)a(k)dk $$ del espacio simétrico de Fock $\Gamma_s(\mathscr{H})$ sobre un (separable) espacio Hilbert $\mathscr{H}$ tiene los números naturales $\mathbb{N}$ como espectro (es decir, un espectro uniformemente espaciado). Además, si por ejemplo $\mathscr{H}=\mathbb{C}$ el operador $aa^*$ tiene $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\setminus\{0\}$ como espectro (de nuevo equidistante). Así que hay muchos operadores con espectro equidistante, y todos ellos comparten una estructura similar.
Sin embargo, dudo que sea posible probar que cualquier operador con un espectro equidistante puramente discreto pueda ser escrito como $d\Gamma(1)$ o $aa^*$ para algunos operadores de creación y aniquilación adecuadamente definidos $a^{\#}$ porque uno puede pensar en algunos ejemplos bastante artificiales utilizando operadores de proyección (no estoy seguro de eso, además también puede echar un vistazo a las respuestas, una es mía, a la pregunta vinculada arriba por Qmechanic).
Seguramente hay una profunda relación entre los espectros de ciertos operadores y las interesantes propiedades de la teoría de los números. Por ejemplo, los números primos se pueden caracterizar de la siguiente manera (esto es resultado de la medalla de Fields A.Connes):
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Deje que $\Gamma_s(\mathscr{H})=\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathscr{H}^{\otimes_s n}$ ser el espacio simétrico de Fock sobre $\mathscr{H}$ y dejar que $A$ ser un operador de una sola partícula en $\mathscr{H}$ . Entonces definimos $\Gamma(A)$ para ser el operador que actúa en $n$ -funciones factorizadas de las partículas $\psi(x_1,x_2,\dotsc, x_n)=\phi(x_1)\dotsm\phi(x_n)\in \mathscr{H}_n$ como $$\Gamma(A)\psi(x_1,x_2,\dotsc, x_n)= (A\phi)(x_1)\dotsm (A\phi)(x_n)\; ;$$ es decir, actúa al mismo tiempo en cada partícula. Además, que $\mathcal{P}$ ser el conjunto de números primos. Entonces el siguiente resultado es cierto:
Deje que $T$ ser un operador autónomo en $\mathscr{H}$ entonces, contando las multiplicidades (es decir, cada valor se produce con la multiplicidad uno):
$\text{Spectrum } T=\mathcal{P}\Longleftrightarrow \text{Spectrum } \Gamma(T)=\mathbb{N}^*$ .
Karlson
Puntos
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En un oscilador armónico unidimensional la energía observable es un conjunto completo de observables del sistema (no tenemos degeneración). Si tienes una lista de posibles energías sabes todo sobre ese sistema cuando no tenemos degeneración. Si esta lista es infinita, tenemos la lista precisa de las energías de un oscilador armónico.
Puedes construir un representación matricial del hamiltoniano en base a la energía. Entonces puedes construir una creación y operadores de aniquilación en esta base también. Es bastante simple, es una matriz con factores adecuados en el tri-diagonalizado. Entonces puedes definir operadores como la posición y el momento, y darle sentido a tu oscilador armónico
