Valor propio de la matriz con espacio de columna unidimensional

Question

Deje$A=vw^\top$ con$v=\begin{bmatrix}1\\2\\-2\\-1\end{bmatrix}$ y$w=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$.

Demuestre que$A$ no tiene un valor propio que no sea igual a cero. (Insinuación: $v\perp w$).

En una pregunta anterior, probé que el espacio de columna de$A$ es unidimensional.

Answer 1

Supongamos que$\lambda x=vw^Tx$ con$\lambda\ne0$. Si multiplicas por$w^T$ a la izquierda, tienes $$ \ lambda w ^ Tx = w ^ Tvw ^ T = 0. $$ Entonces$w^Tx=0$. Pero luego $$ \ lambda x = vw ^ Tx = v0 = 0, $$ así que$x=0$.

Answer 2

Para $\lambda$ un escalar, vamos a $[\lambda]$ el valor del $1\times 1$ matriz cuya única entrada es $\lambda$. Tenga en cuenta que para cualquier vectores columna $a,b$,$a^\top b=[a\cdot b]$$a[\lambda]=\lambda a$.

La matriz en la mano que tiene la forma de $A=vw^\top$. Para cualquier $u$, $$Au=(vw^\top)u=v(w^\top u)=v[w\cdot u]=(w\cdot u)v.\tag1$$ Esto significa que sólo hay dos maneras en que un vector distinto de cero $u$ puede ser un autovector de a $A$:

1. $u$ $v$ o un múltiplo de la de $v$. Y, de hecho, $v$ es un autovector de a $A$ con autovalor $w\cdot v$, por (1).
2. O $u$ no es un múltiplo de a$v$, y sin embargo $(w\cdot u)v$ es un múltiplo de a $u$. Esto sólo es posible si $w\cdot u=0$. Y, de hecho, cualquier vector distinto de cero $u$ ortogonal a $w$ es un autovector de a $A$ con autovalor $0$.

Ahora, sucede que en la situación en la mano que $v$ sí es ortogonal a $w$, por lo que el$w\cdot v=0$. Esto significa que el único autovalor de a $A$ $0$ y los vectores propios de a $A$ son precisamente los distinto de cero los vectores ortogonales a $w$.