Problema estocástico: dar un ejemplo.

Question

Dé un ejemplo en$\Omega = \{a, b, c\}$ en el cual

$E(E(X|F_{1})|F_{2}) \neq E(E(X|F_{2})|F_{1})$

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Obviamente, X es una variable aleatoria y$F_{1}$ y$F_{2}$ son sigma-álgebras ... pero ni siquiera estoy seguro de cómo comenzar con el ejemplo real. Cualquier ayuda es apreciada.

Gracias.

Answer 1

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el $\Omega = \{1,2,3\}$. Recordemos que ${\rm E}[X|Y]$ es sinónimo de ${\rm E}[X|\sigma(Y)]$ donde $\sigma(Y)$ $\sigma$- álgebra generada por $Y$. Deje ${\rm P}$ ser el uniforme de probabilidad, medida en $\Omega$, que es, ${\rm P}(\{\omega\})=1/3$, $\forall \omega \in \Omega$. Ahora, definir variables aleatorias $X$, $Y$, y $Z$ como sigue: $$ X(\omega)=\omega\;\; \forall \omega \en \Omega , $$ $$ Y(1)=1, Y(\omega)=2.5, \omega \in \{2,3\}, $$ y $$ Z(\omega)=1.5, \omega \in \{1,2\}, Z(3)=3. $$ A continuación, $$ {\rm E}[X|Y] = Y $$ y $$ {\rm E}[X|Z] = Z. $$ Por lo tanto es suficiente para mostrar que $$ {\rm E}[Y|Z] \ne {\rm E}[Z|Y]. $$ De hecho, ${\rm E}[Y|Z]$ toma los valores de $1.75$ $2.5$ con probabilidades $2/3$$1/3$, respectivamente, mientras que ${\rm E}[Z|Y]$ toma los valores de $2.25$ $1.5$ con probabilidades $2/3$$1/3$, respectivamente. Por lo tanto, estas variables aleatorias son nunca iguales.