Demuestra que $u_x(x, y) = f(r) \cos(\theta)$ y de ahí se deduce que $f(0) = 0$ lo que implica la condición de contorno de Neumann $u_r = 0$ cuando $r = 0$ .

Question

Supongamos que $u(x,y)$ es una función continuamente diferenciable y circularmente simétrica, de modo que cuando se expresa en coordenadas polares $x = r \cos(\theta)$ , , $y = r \sin(\theta)$ depende únicamente del radio $r$ es decir $u = f(r)$ . Demostrar que $u_x(x, y) = f(r) \cos(\theta)$ y de ahí se deduce que $f(0) = 0$ lo que implica la condición de contorno de Neumann $u_r = 0$ cuando $r = 0$ .

I hizo una pregunta relacionado con este problema hace un tiempo, pero nunca terminé el problema en sí.

Entendí lo suficiente como para saber que tenía que utilizar el cambio de variables:

$$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial r} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y} = \cos\theta\frac{\partial u}{\partial x} + \sin\theta \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial \theta} &= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = -r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x} + r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y} \end{align}$$

Pero a partir de aquí no estoy seguro de cómo proceder.

¿Podría alguien explicar este problema?

Answer 1

Supongamos que $u(x,y) = f(r)$ . Entonces

$$u_x(x,y) = \frac{d f(r)}{d x} = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f'(r) \frac{x}{r}= f'(r)\cos(\theta)$$

Ahora bien, como $u(x,y)$ es circularmente simétrica, tenemos $u_x(x,y)=-u_x(-x,y)$ . Entonces $u_x(0,y)=-u_x(0,y)=0$ . A partir de lo anterior, encontramos entonces

$$f'(0)\cos(\theta) = u_x(0,0) = 0.$$

Como la función es invariante bajo una rotación de los ejes, debemos tener $f'(0)=0$ .

Answer 2

Como usted dice $u(x,y) = f(r)$ ya que la función $u$ es circularmente simétrica y entonces sólo depende del radio $r$ . Ahora vamos a calcular $u_x(x,y)$ :

$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f(r)}{\partial x} =\frac{d f}{d r}\frac{\partial r}{\partial x}$$

por la regla de la cadena, ya que $\frac{d f}{d r}=f'(r)$ y $r^2=x^2+y^2$ un simple cálculo da como resultado

$$\frac{d f}{d r}\frac{\partial r}{\partial x}=f'(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f'(r) \frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}= f'(r) \frac{x}{r}=f'(r)\cos(\theta)$$

porque $x=r\cos\theta$ Por lo tanto $$\color{red}{\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = f'(r)\cos(\theta)}$$

Ahora: $$f'(0)=\frac{df}{dr}(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{u(h_1,h_2)-u(0,0)}{h}$$ donde $h=\sqrt{h_1^2+h_2^2}$ .

Este límite no depende de la dirección $(h_1,h_2)$ es decir, no depende del valor de $\theta$ ya que la función es circularmente simétrica, y esto implica que $f'(0)=0$ . De hecho, puede notar que $$f'(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}=-f'(0)$$ porque cuando $h\to 0^-$ entonces $(h,0)$ se acerca a $(0,0)$ de la media línea negativa del $x-$ eje, por lo que $\theta=\pi$ y luego $\cos\theta=-1$ .

Answer 3

He aquí un enfoque diferente del resultado final.

Lema: Supongamos que $g$ es diferenciable y uniforme en algún intervalo simétrico $(-a,a).$ Entonces $g'(0)=0.$

Prueba: Set $h(x)=g(-x).$ Entonces $h'(x) = -g'(-x).$ Desde $g$ es par, también tenemos $h(x) = g(x).$ De ello se desprende que $g'(x)= -g'(-x).$ Así, $g'(0)= -g'(0),$ lo que implica $g'(0)=0.$

Ahora en su problema, $u(x,0)$ es par, ya que $u(-x,0) = f(|x|) = u(x,0).$ Así, $u_x (0,0) = 0.$ Ahora para $x>0,$

$$\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{u(x,0)-u(0,0)}{x} \to u_x(0,0=0) =0$$

como $x\to 0^+$ Así, $f'(0)=0$ desde la derecha, que es el resultado deseado.