El teorema de la función implícita: Vamos a $m,n$ ser números naturales, $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb R^{n+m}$, $F\colon \Omega\to \mathbb R^m$ una clase de $C^1$ función y $(a_1, \ldots ,a_n, b_1, \ldots ,b_m)\in \Omega$ tal que $F(a_1, \ldots ,a_n, b_1, \ldots ,b_m)=0_{\mathbb R^{\large m}}$.
Escrito $F=(f_1, \ldots, f_m)$ donde para cada $k\in \{1, \ldots m\}$, $f_k\colon \mathbb R^{n+m}\to \mathbb R$ es una clase de $C^1$ función, supongamos que la siguiente $m\times m$ matriz es invertible:
$$\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial y_m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial y_1} & \cdots& \dfrac{\partial f_m}{\partial y_m}\end{pmatrix}(a_1, \ldots ,a_n, b_1, \ldots ,b_m).$$
En estas condiciones existe un entorno $V$$(a_1, \ldots ,a_n)$, un vecindario $W$ $(b_1, \ldots ,b_m)$ y una clase de $C^1$ función de $G\colon V\to W$ tal que $G(a_1, \ldots ,a_n)=(b_1, \ldots ,b_m)$$\forall (x_1, \ldots ,x_n)\in U\left(F(x_1, \ldots , x_n, g_1(x_1, \ldots , x_n), \ldots ,g_m(x_1, \ldots , x_n))=0_{\mathbb R^{\large m}}\right)$, donde para cada $l\in \{1, \ldots , m\}$, $g_l\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ es una clase de $C^1$ función y $G=(g_1, \ldots ,g_m)$.
Además, $J_G=-\left(J_2\right)^{-1}J_1$ donde
$$J_G \text{ es } \begin{pmatrix}\dfrac {\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac {\partial g_1}{\partial x_n}\\
\vdots &\ddots &\vdots\\
\dfrac {\partial g_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac {\partial g_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}_{m\times n}\text{ evaluados en }(x_1, \ldots ,x_n),
\\
J_2\text{ es }\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial y_m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial y_1} & \cdots& \dfrac{\partial f_m}{\partial y_m}\end{pmatrix}_{m\times m}\\ \text{ evaluados en }(x_1, \ldots , x_n, g_1(x_1, \ldots , x_n), \ldots ,g_m(x_1, \ldots , x_n)),$$
y
$$J_1\text{ es }\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots& \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}_{m\times n}\\ \text{ evaluados en }(x_1, \ldots , x_n, g_1(x_1, \ldots , x_n), \ldots ,g_m(x_1, \ldots , x_n)).$$
En este problema se puede aplicar el IFT como es, porque el uso de esta versión de la IFT uno escribe la última $m$ variables como funciones de la primera $n$, pero mirando en la prueba de uno de los avisos que le puede considerar permutaciones de esto y esto es lo que sucede aquí.
En la notación por encima de la de ha $n=1, m=2, \Omega =\mathbb R^{n+m}, F\colon \mathbb R^{n+m}\to \mathbb R^m$ $F(x,y,z)=(f_1(x,y,z), f_2(x,y,z))$ donde$f_1(x,y,z)=x+yz-z^3$$f_2(x,y,z)=x^3-xz+y^3$.
Para todos los $(x,y,z)\in \mathbb R^3$ sostiene que:
- $\dfrac {\partial f_1}{\partial x}(x,y,z)=1,$
- $\dfrac {\partial f_1}{\partial y}(x,y,z)=z,$
- $\dfrac {\partial f_2}{\partial x}(x,y,z)=3x^2-z,$ y
- $\dfrac {\partial f_2}{\partial y}(x,y,z)=3y^2$.
Por lo tanto, $\begin{pmatrix} \dfrac {\partial f_1}{\partial x}(1,-1, 0) & \dfrac {\partial f_1}{\partial y}(1, -1, 0)\\ \dfrac {\partial f_2}{\partial x}(1, -1, 0) & \dfrac {\partial f_2}{\partial y}(1, -1, 0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 3\end{pmatrix}$ y la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 3\end{pmatrix}$ es invertible.
Así que, por el IFT, existe un intervalo de $V$ $z=0$ y un vecindario $W$ $(x,y)=(1,-1)$ y una clase de $C^1(V)$ función de $G\colon V\to W$ tal que $G(0)=(1-1)$ $\forall z\in V\left(F(g_1(z), g_2(z), z)=0\right)$ donde $g_1(z), g_2(z)$ el valor de la primera y segunda entradas, respectivamente, de $G(z)$, para todos los $z\in V$. (En analista de términos, $g_1(z)=x(z)$$g_2(z)=y(z)$).
También se encuentra
$$\begin{pmatrix} \dfrac {\partial g_1}{\partial z}(z)\\ \dfrac {\partial g_2}{\partial z}(z)\end{pmatrix}=\\-\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x}(g_1(z), g_2(z), z) & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}(g_1(z), g_2(z), z)\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x}(g_1(z), g_2(z), z) & \dfrac{\partial f_2}{\partial y}(g_1(z), g_2(z), z)\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial z}(g_1(z), g_2(z), z)\\ \dfrac{\partial f_2}{\partial z}(g_1(z), g_2(z), z)\end{pmatrix}.$$
Ahora usted puede felizmente evaluar los HR en $z=0$.
