Números reales que suman 0

Question

Deje que$a_1,a_2,\cdots{},a_k$ sean números reales tales que$a_1+a_2+\cdots{}+a_k=0$ y$a_1\le a_2\le \cdots{}\le a_k$. Demuestre que$$a_1^2+a_2^2+\cdots{}+a_k^2+ka_1a_k\le 0.$ $

Progreso: para cualquier$m$ y$n$ debemos tener$a_1a_k\le a_ma_n$ y también tenemos la relación$$a_1^2+a_2^2\cdots{}+a_k^2=-2\sum_{1\le m<n\le k} a_ma_n.$ $. El procedimiento por contradicción parece ser la mejor manera posible, pero estoy encontrando difícil probar la afirmación. Cualquier consejo o solución son bienvenidos.

Answer 1

Como$a_1 \leq a_i \leq a_k$ para todos$i$, obtenemos:$$(a_k - a_i)(a_i - a_1) \ge 0.$ $ Por lo tanto,$$0\leq\sum_{i=1}^k(a_k - a_i)(a_i - a_1)=\sum_{i=1}^k(a_k a_i - a_k a_1 - a_i^2 + a_i a_1)=$ $$$ =-(a_1^2 + a_2^2 +... + a_k^2) - ka_1 a_k$ $ ¡y hemos terminado!