Las funciones básicas de la trigonometría, $\sin$$\cos$, son ubicuos en las matemáticas. Ellos fueron originalmente concebidos a partir de la geometría, y así no es de extrañar que se muestran de forma consistente en la primaria de la geometría de los contextos. Muchas otras apariciones de estas funciones me parece chocante, sin embargo. Tenemos, por supuesto, el famoso resultado de, $$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$ which connects them to exponentiation. They also appear in relation to other famous functions, such as in the formulas $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z},$$ $$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1}\sin\left( \frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s). \tag{1}$$ I find these particularly surprising because the Riemann zeta function is closely tied to prime numbers, for example in the formula $$\zeta(s) = \prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1-1/p^s} \tag{2}.$$ If I had never heard of trigonometry, and you defined $\el pecado$ and $\cos$ for me in terms of the unit circle (ignoring non-real values of $s$), and then told me that the expressions in $(1)$ and $(2)$ son equivalentes, probablemente me llamo la mentira idiota!
Muchas pruebas de la solución para el problema de Basilea, que $\zeta(2) = \pi^2/6$, dependen en gran medida en el uso de las propiedades de $\sin$$\cos$, lo que también me parece notable. El problema de la evaluación de la suma $$\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ seems to have very little to do with $\el pecado$ and $\cos$, ratios of lengths of triangles, points on the unit circle, and so forth. Even just the Taylor series $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots, $$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots,$$ son extremadamente simples, y conectar estas funciones a los problemas en el análisis (y de ahí a los problemas de teoría de números y en otros ámbitos).
Yo podría prattle mucho más acerca de otros usos de la $\sin$$\cos$, como en el Análisis de Fourier, integración, ecuaciones diferenciales, teoría analítica de números, e incluso (en maneras más sutiles) en las pruebas de los resultados como el teorema fundamental del álgebra.
¿Cómo podemos comprender intuitivamente esto? Que funciones que son consideradas miles de años han demostrado una y otra vez en las matemáticas de los últimos cien años, en campos completamente diferentes a su uso original y totalmente ajeno a las personas que los crearon, me parece absolutamente sorprendente. Por qué tienen estas antiguas funciones continuó a ser increíblemente útil en matemáticas, esencialmente sin cambios en sus definiciones originales? ¿Qué propiedades fundamentales de $\sin$ $\cos$ hacer que ellos se impregnan de la matemática moderna?
