Cálculo de la intersección de dos subespacios de$C^{\infty}_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Question

He estado pensando en los dos siguientes subespacios de $C^{\infty}_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{R})$: $$ A=\{a_1\sin(t)+a_2\sin(2t)+a_3\sin(3t):a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\} $$ y $$ B=\{b_1\sin(t)+b_2\sin^2(t)+b_3\sin^3(t):b_1,b_2,b_3\in\mathbb{R}\}. $$ Me pregunto si no hay una descripción explícita de $A\cap B$?

El uso de doble y triple ángulo de identidades, deduzco $$ a_1\sin(t)+a_2\sin(2t)+a_3\sin(3t)=(a_1+2a_2\cos(t)+3a_3)\sin(t)-4a_3\sin^3(t). $$ El Wronskian de $\{\sin(t),\sin^2(t),\sin^3(t)\}$$2\sin^3(t)\cos^3(t)$, por lo que son linealmente independientes en $\mathbb{R}$. Esto me lleva a sospechar que $A\cap B=\langle \sin(t),\sin^3(t)\rangle$, pero los molestos $\cos(t)$ en el coeficiente de $\sin(t)$ por encima es que me molesta. Es mi corazonada correcta?

Answer 1

Su deducción muestra que$\sin(t)$ y$\sin^3(t)=\frac34\sin(t)-\frac14\sin(3t)$ son elementos de$A\cap B$, por lo que la dimensión de$A\cap B$ es al menos$2$. Por lo tanto, de hecho,$$A\cap B=\{a_1\sin(t)+a_3\in(3t):a_1,a_3\in\mathbb R\}$$ or $ A = B$. But $ A = B$ cannot hold as $ B$ contains the even function $ \ sin ^ 2 (t)$, whereas all nonzero elements of $ A$ are odd functions. (Alternatively for the last step: $ \ int_0 ^ {2 \ pi} f (x) \, \ mathrm dx = 0$ for all $ f \ in A$, but $ \ int_0 ^ {2 \ pi} \ sin ^ 2 ( x) \, \ mathrm dx = \ pi $)