Asintóticos de la suma$1-2^x+3^x-4^x+\cdots+x^x$

Question

¿Cuál es la asintótica de$1-2^x+3^x-4^x+\cdots+x^x$ a medida que$x$ se vuelve grande?

$x$ es impar solamente

Answer 1

Escriba esto como$$S(x) = x^x \sum_{n=1}^x (-1)^{n-1} \left(\frac{n}{x}\right)^x = x^x (-1)^{x-1} \sum_{k=0}^{x-1} (-1)^{k} \left(1-\frac{k}{x}\right)^x$ $ As$x \to \infty$,$(1 - k/x)^x \to e^{-k}$, así que (después de justificar el intercambio de suma y límite por convergencia dominada)$$ (-1)^{x-1} S(x) x^{-x} \to \sum_{k=0}^\infty (-1)^k e^{-k} = \frac{e}{e+1}$ $ Así$S(x) \sim \dfrac{e}{e+1} (-1)^{x-1} x^{x} $

Answer 2

Cuando$x$ es muy grande, el último término dominará. Si el término$x^x$ viene con un signo$+$,$x$ debe ser impar. Se vuelve muy grande, va como$x^x$