¿Cómo puedo probar que el conjunto de puntos no diferenciables de una función convexa es condicional?

Question

Acabo de leer el movimiento browniano y el cálculo estocástico de Ioannis Karatzas y Steven Shreve y se me ocurrió este problema. Cualquier ayuda sería valiosa.

Answer 1

Bosquejo de la prueba. Las derivadas izquierda y derecha$f_-'$,$\,f_+'$ de una función convexa$f$ existen, y ambas aumentan, y también $$f _- (x) \ le f _ + '(x ), \ quad \ text {para todos$x$}.$$ Por lo tanto, cada uno de ellos es discontinuo en un contable en la mayoría de los conjuntos$S$, y se diferencian en un subconjunto de$S$.