Conjunto abierto de cero Divisores de un Módulo de

Question

Deje $R=k[x_1,\dots,x_r]$ ser el polinomio anillo sobre el campo de $k$. Denotar por $R_1$ el espacio vectorial lineal de las formas, es decir, todos los grados-$1$ elementos de $R$. Deje $M \neq 0$ ser un finitely generado graduales $R$-módulo y supongamos $H_m^0(M)=0$, es decir, ningún elemento no nulo de a $M$ es aniquilado por una potencia de $m=(x_1,\dots,x_r)$.

Pregunta: $R_1$ puede ser considerada como el espacio afín $\mathbb{A}^r$, que es irreducible en la topología de Zariski. Podemos demostrar que existe una Zariski-abrir subconjunto de $R_1$ compuesto de elementos regulares de $M$?

Answer 1

Sí: El conjunto de $\text{Reg}_R(M)$ homogéneo $M$-regular los elementos, es el complemento de la unión de la homogénea asociada primos de $M$, es decir, los ${\mathfrak p}$ para que un $R/{\mathfrak p}\langle k\rangle\hookrightarrow M$ algunos $k$. Que es, $$\quad\quad\ \ \ \ \text{Reg}_R(M) = R \setminus\bigcup\limits_{{\mathfrak p}\in\text{Ass}_R(M)} {\mathfrak p},\\(\ddagger)\quad\quad\text{Reg}_R(M)_1 = R_1 \setminus\bigcup_{{\mathfrak p}\in\text{Ass}_R(M)} {\mathfrak p}_1.$$ Since the ${\mathfrak p}\\text{Culo}_R(M)$ ocurring on the right hand side of $(\ddagger)$ are ideals and in particular a ${\mathbb k}$-subspaces of $R$, their degree-$1$ components ${\mathfrak p}_1$ are ${\mathbb k}$-subspaces of $R_1\cong {\mathbb A}^r$. Moreover, they are proper subspaces of $R_1$ as otherwise $(x_1,...,x_n)={\mathfrak m}\in\text{Culo}_R(M)$ which contradicts the assumption that $\text{H}^0_{\mathfrak m}(R;M)=0$. Hence, $(\ddagger)$ expresses $\text{Reg}_R(M)_1\subconjunto{\mathbb A}^r$ as the complement of a finite ($\text{Culo}_R(M)$ is finite for finitely generated $M$) union of proper subspaces of ${\mathbb A}^r$, which is hence a Zariski open set and non-empty if ${\mathbb k}$ es infinito.