Distribución de lanzamientos de dados amañados para que nunca produzcan dos veces seguidas el mismo resultado

Question

Un dado es "fijo", de modo que cada vez que se lanza el resultado no puede ser el mismo que el anterior, todos los demás resultados tienen una probabilidad de 1/5. Si el primer resultado es 6, ¿cuál es la probabilidad de que el enésimo resultado sea 6 y cuál es la probabilidad de que el enésimo resultado sea 1?

Answer 1

La cadena de Markov tiene 6 estados etiquetados del 1 al 6. Para cada estado, la probabilidad de transición a cada uno de los otros estados es $1/5$ . Por tanto, la matriz de transición de probabilidades es $M=\dfrac{1}{5}(J-I)$ donde $J$ es la matriz de todos los unos, y $I$ es la matriz de identidad.

El vector de distribución del $n$ La puntuación de la tercera es la siguiente $(1,0,0,0,0,0)M^n$ es decir, por la primera fila de $M^n$ .

Answer 2

Dejemos que $p_n$ sea la probabilidad de que el $n$ -el lanzamiento es un $6$ . Tenga en cuenta que $p_1=1$ . Obtenemos una recurrencia para $p_n$ .

La probabilidad de que el $n$ -el lanzamiento no es un $6$ es $1-p_n$ . Dado esto, la probabilidad de que el $n$ -el lanzamiento es un $6$ es $\frac{1}{5}$ .

Así, $$p_{n+1}=\frac{1}{5}(1-p_n)=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}p_n.$$ La recurrencia homogénea $p_{n+1}=-\frac{1}{5}p_n$ tiene solución general $A(-1/5)^n$ . Una solución particular de la recurrencia no homogénea es $1/6$ .

Así, la solución general de nuestra recurrencia es $\frac{1}{6}+\frac{A(-1)^n}{5^n}$ . Desde $p(1)=1$ tenemos $A=-\frac{25}{6}$ y por lo tanto $$p_n=\frac{1}{6}\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n-2}} \right).$$

Ahora que conocemos la probabilidad de un $6$ dado que el primero es un $6$ podemos calcular fácilmente la probabilidad de $1$ ya que por simetría $1$ a $5$ son igualmente probables.