la comprobación de los problemas: $(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{{2}^{n}}) = \frac{1-q^{{2}^{n+1}}}{1-q}$

Question

Estoy tratando de demostrar esto, y es realmente frustrante, porque parece un problema realmente fácil de demostrar, sin embargo, estoy teniendo un pequeño problema con los exponentes:

$$(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{{2}^{n}}) = \frac{1-q^{{2}^{n+1}}}{1-q}$$

Hipótesis

$F(x)=(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{{2}^{x}}) = \frac{1-q^{{2}^{x+1}}}{1-q}$

El formato puede ser un poco problemático aquí, así que, para aclarar:

$(1+q^{{2}^{x}})$ = 1+(q^(2^x))

y

$1-q^{{2}^{x+1}}$ = 1 - (q^2^(x+1))

Prueba:

$P1 | F(x) = (\frac{1-q^{{2}^{x+1}}}{1-q})(1+q^{{2}^{x+1}}) = \frac{1-q^{{2}^{x+2}}}{1-q} $

$P2| \frac{[(1)-(q^{{2}^{x+1}})][(1)+(q^{{2}^{x+1}})]}{(1-q)} = \frac{1-q^{{2}^{x+2}}}{1-q}$

Aquí no sé si debería:

$P3 | \frac{(1-q^{{2}^{x+1}})^2}{1-q} = \frac{1-q^{{2}^{x+2}}}{1-q}| $ aplicando $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $

o

$P3 | \frac{1-q^{{2}^{x+1}+{2}^{x+1}}}{1-q} = \frac{1-q^{{2}^{x+2}}}{1-q} $

Esto se debe a que, supuestamente, la propiedad va:

$(a^n)^m = a^{n*m}$

Pero, al parecer, en este problema, la proponencia es diferente, más o menos así:

$a^{(n^{m})}$

Porque, por ejemplo, cuando q=2 :

$ F(0) = 1+2^{({2}^{0})} = 1 + 2^{1} = 3 $

lo que parece ser cierto, ya que al evaluar RHS:

$ F(0) = \frac{1-2^{{2}^{0+1}}}{1-2} = 3 $

Answer 1

Definir $f(q)=(1+q)(1+q^2)(1+q⁴)...(1+q^{{2}^{n}})$ ,

Calculamos

\begin {align*} (1-q)f(q)&= (1-q)(1+q)(1+q^2)(1+q⁴)...(1+q^{{2}^{n}}) \\ &=(1-q^2)(1+q^2)(1+q^{2^2})...(1+q^{{2}^{n}}) \\ &=(1-q^{2^2})(1+q^{2^2})...(1+q^{{2}^{n}}) \\ \vdots \\ &=1-q^{2^{n+1}} \end {align*} Ahora divide por $1-q$ y se obtiene la identidad.

Answer 2

Inducción en $n$ .

En aras de la brevedad, dejemos que $\prod_{j=0}^n(1+q^{2^j})=P(q,n)$ .

Para el caso $n=0$ tenemos $(1-q)P(q,0)=(1-q)(1+q)=1-q^2=1-q^{2^{0+1}}.$

Si $(1-q)P(q,n)= 1-q^{2^{n+1}}$ entonces $$(1-q)P(q,n+1)=(1-q)P(q,n)(1+q^{2^{n+1}})=$$ $$=(1-q^{2^{n+1}})(1+q^{2^{n+1}})=1-(q^{2^{n+1}})^2=1-q^{2^{n+2}}.$$

Por ejemplo $$(1-q)(1+q)(1+q^2)=(1-q^2)(1+q^2)=1-(q^2)^2=1-q^4.$$