Deje $$T=\{n | 0,1~\mathrm{do~not~occur~in~the~decimal~expansion~of~n}\}$$
Voy a hacer esta Conjetura: $T\cap S$ es finito.
Es decir, hay sólo un número finito $n$ que no tiene el dígito 1 en su representación decimal y que ha $P^\infty(n)>0$.
En el caso de que todos los dígitos son los mismos (y no 1) está cubierto por una larga conjetura de Furstenberg (Conjetura de 2 " en la página 25 de este artículo que he citado en mi respuesta a este tangencialmente relacionados con la pregunta), que dice que lo suficientemente grandes poderes de cualquier número (no es una potencia de 10) contener cualquier finito patrón de dígitos.
En particular para este problema, por $2\le d \le 9$ no es un porcentaje ($K(d)$ lo suficientemente grande como tales $d^k$ tiene un cero en su expansión decimal para$k>K(d)$, por lo que los números decimales $n=ddd\cdots d$ $k$ repitió $d$s $P^2(n)=0$.
Creo que esto se puede generalizar al caso en que los diferentes dígitos están permitidos, pero sólo tengo una muy abstracta argumento. Todos los patrones de dígitos que aparecen en las grandes potencias de $d_1$ debido a que la representación decimal de $d_1^{k_1}$ es "random" en algún sentido, y multiplicando por otro $d_2^{k_2}$ da de algo que está siendo al azar (a menos de 10 divide $d_1\times d_2$). Así, por $k_1+k_2$ lo suficientemente grande como $n=d_1^{k_1}d_2^{k_2}$ contendrá un cero en su expansión decimal. Y continuando con el argumento, por $k_1+k_2+k_3+k_4$ lo suficientemente grande como todos los $n\in T$ con
$$
P(n)=2^{a_1}3^{a_2}4^{a_2}5^{a_2}6^{a_2}7^{a_2}8^{a_2}9^{a_2} = 2^{k_1}3^{k_2}5^{k_3}7^{k_4}
$$
contendrá un cero en su expansión decimal y se han $P^2(n)=0$.
Un equipo de verificación de los exponentes de hasta 200 sugiere que el mayor valor de $k_1+k_2+k_3+k_4$ puede tomar es de 44, y el más grande de $n\in T$ $P^\infty(n)\ne 0$ ha $P(n)=2^{39}3^3 7^2$.
Deje $L(n)$ el número de dígitos en la representación decimal de $n$.
Dado $n\in T$$L(n)<N$, podemos mezclar los dígitos de $n$ $N-L(n)$ adicional 1 dígitos para obtener $N$-números de dos dígitos $n_1,n_2,\dots$$P(n)=P(n_1)=P(n_2)=\cdots$. Por ejemplo, supongamos $n=2677,N=10$, y
$$
n_2=1111112677, n_2=1111771216, n_3=7172611111, \ldots \\
P(n)=588=P(n_1)=P(n_2)=P(n_3)=\cdots
$$
Si el número de distintas permutaciones de los dígitos de $n$$L(n)!/R(n)$, entonces el número de maneras en que podemos generar $N$-dígitos de la $n$ de esta forma es
$$
c(n,N) = \frac{N!}{(N-L(n))!R(n)} = \frac{N^{L(n)}}{R(n)}-O(N^{L(n)-1})
$$
En nuestro ejemplo,$c(2677,N)=N^4/2-O(N^3)$.
Operando bajo la conjetura de que $L(n)$ está delimitado por $n\in T\cap S$, para un gran $N$ $N$- números de dos dígitos en $S$ se compone principalmente de $1s$, y su recuento será dominado por $N^{L(n)}$ por el mayor $n$s.
Mi equipo de búsqueda activado el más largo de la $n$ como sigue:
$$
\begin{array}{c|c|c|c}
P^\infty(n) & P(n) & L(n) & c(n,N) \\
\hline
2 & 2^{26}3^3 & 29 & N^{29}/(2.4\times 10^{27}) \\
3 & 3 & 1 & N \\
4 & 2^{23}3^7 7 & 31 & N^{31}/(1.3\times 10^{26}) \\
5 & 3^5 5 7^2 & 8 & N^8/240\\
6 & 2^{24} 3^6 7^6 & 36 & N^{36}/(3.2\times 10^{29}) \\
7 & 7 & 1 & N \\
8 & 2^{39} 3^3 7^2 & 44 & N^{44}/(2.4\times 10^{47})\\
9 & 3^2 & 2 & N^2/2
\end{array}
$$
donde la columna de la derecha da el comportamiento asintótico de muy gran $N$. También hay sólo una $N$-número de dígitos que consta de todos los 1 con $P(n)=1$.
Así que a pesar hasta 50 millones el histograma muestra un patrón similar a la tuya:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
P^\infty & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
\mathrm{count} & 8 & 317446 & 36 & 27070 & 16325 & 1336881 & 35 & 697581 & 119
\end{array}
$$
mis resultados sugieren que eventualmente $P^\infty=4$ dominarán $P^\infty=2$, y en la gran $N$ límite de casi todos los de $S$ se compone de los números con treinta y nueve 2s, tres 3s, dos 7 y un gran número de 1s, cada una con $P^\infty=8$.
