Cómo expresar $2 \cos X = \sin X$ en términos de $\sin X$?

Question

La Pregunta era:

Express $2\cos{X} = \sin{X}$ en términos de $\sin{X}$ solamente.

He tenido relaciones con problemas similares, pero por alguna razón, debido a que yo creo que una menor supervisión, soy terriblemente enfadado.

Answer 1

Nota: demasiado largo para un comentario...

El cuadrado para forzar el uso de $\cos^2x+\sin^2x=1$ resultados en una ecuación que no es equivalente a la ecuación original. Esta realidad crea otro contables conjunto de soluciones.

Primera nota de que, $\cos \theta=0$ no ocurre cuando la ecuación se cumple, por lo que: $$(E): 2\cos x=\sin x \ffi \tan x=2$$ tiene el conjunto de solución $\arctan 2+\pi\mathbb{Z}$.

Ahora bien, si usted cuadrado de $(E)$: $$(E)^2: 4\cos^2x=\sin^2x\fib (2\cos x-\sin x)(2\cos x+\sin x)=0\ffi\tan x=\pm2$$ tiene el conjunto de solución $(\arctan 2 +\pi\mathbb{Z})\sqcup(-\arctan 2+\pi\mathbb{Z})$. Así que no es equivalente a $(E)$.

La sustitución de $\cos x$ $\pm\sqrt{1-\sin^2x}$ realmente no funciona bien. Lo mejor que podemos decir es que $$(E)\ffi \cos x\geq 0 \wedge 2\sqrt{1-\sin^2 x}=\sin x\quad\mbox{o}\quad \cos x\leq 0 \wedge -2\sqrt{1-\sin^2 x}=\sin x.$$

Answer 2

Dada la ecuación $$2 \cos(x) = \sin(x)$$ and the instruction to write solely in terms of $\sin(x)$, I would begin by looking for an identity that involves $\cos(x)$, the term we want to transform and $\sin(x)$ the term we want to write everything in. This leaves us with the identity $$\cos(x)^2 + \sin(x)^2 =1.$$ We may then subtract $\sin(x)^2$ from both sides to have have $$\cos(x)^2 = 1 - \sin(x)^2.$$ As $\cos(x)^2$ is non-negative, we may take the square root of both sides and are left with $$\cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin(x)^2}.$$ We then replace the $\cos(x)$ in our equation with $\pm\sqrt{1 - \sin(x)^2}$ and thus we have two equations $$2 \sqrt{1 - \sin(x)^2} = \sin(x)$$ and $$-2 \sqrt{1 - \sin(x)^2} = \sin(x)$$

Answer 3

Trate de usar $\cos{x}^2 + \sin{x}^2 =1$ o de alguna otra identidad conocida, pero la solución para $\cos{x}$ en términos de $\sin{x}$. A continuación, sustituya.

Answer 4

Como ya se ha mencionado por parte de los usuarios , debe utilizar la identidad :

$$\large \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ........... \boxed{1}$$

Aquí es , cómo empezar a resolver el problema :

$$\large \text{Given : } \quad 2\cos x = \sin x ......... \boxed{2}$$ Ahora, la simplificación de la ecuación 1 más :

$$\large \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$ Resolver para $\cos x$ más tomando la raíz cuadrada de ambos lados y poner ese valor en la ecuación 2 , usted recibirá su respuesta.

Answer 5

Por supuesto, desde la $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ si $2\cos(x)=\sin(x)$, el cuadrado y la adición de $4\sin^2(x)$ a ambos lados de los rendimientos $$4=5\sin^2(x)\etiqueta{1}$$ Por supuesto, $(1)$ también tiene soluciones donde $2\cos(x)=-\sin(x)$. El conocimiento de $\sin(x)$ totalmente determina $|\cos(x)|$, pero no dice nada sobre el signo de $\cos(x)$. Por esta razón, la ecuación de $2\cos(x)=\sin(x)$ no puede ser caracterizada en términos de $\sin(x)$ solo.

Por otro lado, $2\cos(x)=\sin(x)$ es equivalente a $\tan(x)=2$.