Límite de $(1+\frac{1}{n^{3\alpha}})^{n^{5}}$

Question

Yo estaba tratando de resolver el $\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n^{3\alpha}})^{n^{5}}$ donde tengo que decir para que $\alpha$ parámetro el límite es finito. Traté de sobstitute $t=n^{3\alpha}$:

$(1+\frac{1}{t})^{{t}^{\frac{5}{3\alpha}}}$

y me encontré $\alpha \ge 0$

Pero la solución dice $\alpha\geq \frac{5}{3}$

Donde estoy equivocado?

Answer 1

Primero excluir el caso de $\alpha\le0$. Para $\alpha>0$, calcular lugar $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^{3\alpha}}\right)^{x^5}$$ (la función opuesta a la de la secuencia). Como preparación, se calcula el límite del logaritmo, pero sustituyendo $x=1/t$: $$\lim_{t\to0^+}\frac{\log(1+t^{3\alpha})}{t^5}= \lim_{t\to0^+}\frac{t^{3\alpha}+o(t^{3\alpha})}{t^5}$$ y desea que el límite es finito. Esto claramente significa $3\alpha\ge 5$.

Rellene los detalles.

Answer 2

$$\left(1+\frac1{n^{3\alpha}}\right)^{n^5}=\left[\left(1+\frac1{n^{3\alpha}}\right)^{n^{3\alpha}}\right]^{n^{5-3\alpha}}$$

Ahora, para $\;3\alpha>0\;$ obtenemos $\;n^{3\alpha}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty\;$ , por lo que

$$\left(1+\frac1{n^{3\alpha}}\right)^{n^{3\alpha}}\xrightarrow[n\to\infty]{}e$$ , and if $\;5+3\alfa>0\;$

$$\left[\left(1+\frac1{n^{3\alpha}}\right)^{n^{3\alpha}}\right]^{n^{5-3\alpha}}\ge 2^{n^{5-3\alpha}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$$

así que debemos tener

$$5-3\alpha\le0\iff\alpha\ge\frac53$$

Answer 3

A partir de lo que hice:

Primero de todo, para$\alpha\leq 0$$1+\frac{1}{n^{3\alpha}}\geq 2$, e $2^{n^5}$ diverge a $\infty$. Esta se asienta este caso, por lo que ahora consideramos $\alpha > 0$.

Considere lo que usted tiene:

$$\begin{align} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{{t}^{\frac{5}{3\alpha}}} &= \exp\left({t}^{\frac{5}{3\alpha}} \ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\right) = \exp\left(\frac{{t}^{\frac{5}{3\alpha}}}{t}\cdot t \ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\right) \\&= \exp\left({t}^{\frac{5-3\alpha}{3\alpha}}\cdot t \ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\right) \end{align}$$

Recordando que $t \ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\xrightarrow[t\to\infty]{}1$, obtenemos:

• Si $5-3\alpha < 0$, entonces el exponente va a $0\cdot 1=0$
• Si $5-3\alpha = 0$, entonces el exponente va a $1\cdot 1=1$
• Si $5-3\alpha > 0$, entonces el exponente va a $\infty\cdot 1=\infty$

Se puede concluir?