Diferenciabilidad de $f(x) = x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ y $f'$

Question

Sea $f(x) = x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ para $x\neq 0$ y $f(0) =0$.

(a) Usa las propiedades básicas de la derivada y la Regla de la Cadena para demostrar que $f$ es diferenciable en cada $a\neq 0$ y calcula $f'(a)$.

Puedes utilizar sin demostrar que $\sin$ es diferenciable y que $\sin' =\cos$.

No estoy seguro de lo que está preguntando esto.

(b) Demuestra que $f$ es diferenciable en $0$ y que $f'(0) =0$.

$\frac {f(x)-f(0)}{x-0} \to \lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$.

$x \sin(1/x) \leq |x|$ y $\lim_{x \to 0} |x|=0$.

Por lo tanto, $f(x)$ es diferenciable en $0$; además $f^{'}(0)=0$.

(c) Demuestra que $f'$ no es continua en $0$.

$f{'}(x)=x^{2} \cos(1/x) (-x^{-2}) + 2x \sin (1/x)$.

En partes: $\lim_{x \to 0} \cos (1/x)$.

$f^{'}(0-)$ ni $f{'}(0+)$ existen ya que $x \to 0$ $f^{'}(x)$ oscila infinitamente entre $-1$ y $1$ con una frecuencia cada vez mayor a medida que $x \rightarrow 0$ para cualquier $p>0$ $[-p,0]$, $[-p,p]$ o $[0,p]$ $f$ no es continua.

Pregunta: ¿Cómo mostrarlo más rigurosamente?

Answer 1

Parte (b). La función $f$ es diferenciable en $0$ y tiene $f'(0)$ igual al límite si el siguiente límite existe: $$\begin{align} \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 0}{x} & \textrm{ como } f(0) = 0 \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} & \\ & = \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \end{align}$$

Ahora podemos usar el Teorema del Sandwich. Como $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$, tenemos que $$0 = \lim_{x \to 0} x \cdot -1 \leq \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq \lim_{x \to 0} x \cdot 1 = 0$$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$ y tenemos que $f'(0)=0$.

Answer 2

$x^2$ es continuo y diferenciable sobre $\mathbb{R}$

$\sin(x)$ es continuo y diferenciable sobre $\mathbb{R}$

$\frac 1 x$ es continuo y diferenciable sobre todo $\mathbb{R}$ excepto en $0$. Y es una función de $\mathbb{R \to R}$

$\displaystyle \sin\left(\frac 1 x\right)$ es por lo tanto continuo y diferenciable para todo $\mathbb{R}$ excepto en $0$ donde no está definido.

$\displaystyle x^2\sin\left(\frac 1 x\right)$ es por lo tanto continuo y diferenciable para todo $\mathbb{R}$ excepto posiblemente en $0$.

Para calcular $f'(a)$ usa la regla del producto seguido de la regla de la cadena para encontrar:

$$F'(a) = 2a\sin\left(\frac 1 a\right) - \cos\left(\frac 1 a\right)$$

Answer 3

$$\lim (f(x) g(x)) =\lim (f(x))\lim (g(x)),$$ siempre y cuando ambos límites existan.

En el caso anterior, lim $\sin (1/x)$ no existe cuando $x$ tiende a $0$. Por lo tanto, el método anterior es incorrecto.

Sin embargo, es cierto que $\lim x \sin(1/x) = 0$ cuando $x$ tiende a $0$, pero, el método para probar este resultado, como se muestra anteriormente, no es correcto.

Es necesario utilizar el método epsilon-delta (que implica matemáticas rigurosas) para demostrar este resultado.