¿Se puede descomponer cualquier tensor de rango en partes simétricas y antisimétricas?

Question

Sé que los tensores de rango 2 pueden descomponerse así. Pero me gustaría saber si esto es posible para cualquier rango de tensores?

Answer 1

A (superior) $n$ -tensor de rango $T^{\mu_1\ldots \mu_n}$ con $n\geq 3$ no siempre puede descomponerse en una pieza totalmente simétrica y otra totalmente antisimétrica. En general, también habrá componentes de simetría mixta.

El grupo simétrico $S_n$ actúa sobre los índices $$(\mu_1,\ldots ,\mu_n)\quad \longrightarrow\quad (\mu_{\pi(1)},\ldots ,\mu_{\pi(n)})$$ mediante permutaciones $\pi\in S_n$ . Se puede descomponer el tensor $T^{\mu_1\ldots \mu_n}$ según irreps (representaciones irreducibles) del grupo simétrico.

Cada irrep corresponde a un Retablo joven de $n$ cajas. Por ejemplo, una sola fila horizontal de $n$ corresponde a un tensor totalmente simétrico, mientras que una sola columna vertical de $n$ cajas corresponde a un tensor totalmente antisimétrico. Pero también hay otros cuadros de Young con una (especie de) simetría mixta.

Aquí es una búsqueda en Google para ampliar la información.

Answer 2

No.

Definiciones:

• Un tensor de rango-n es un mapa lineal de n vectores a un escalar.
• Un tensor simétrico es aquel en el que el orden de los argumentos no importa.
• Un tensor antisimétrico es aquel en el que la transposición de dos argumentos multiplica el resultado por -1.

Supongamos que tenemos algún tensor de rango 3 $T$ con parte simétrica $S$ y la parte antisimétrica $A$ así que

$$T(a,b,c) = S(a,b,c) + A(a,b,c)$$

donde $a,b,c\,$ son vectores arbitrarios. Transponiendo $c$ y $a$ en el lado derecho, y luego transponiendo $a$ y $b$ tenemos

$$T(a,b,c) = S(c,a,b) + A(c,a,b)$$

por lo que concluimos

$$T(a,b,c) = T(c,a,b)$$

es trivial construir un contraejemplo, por lo que no todos los tensores de rango 3 pueden descomponerse en partes simétricas y antisimétricas.