Si el conjugado complejo de un derivado de un Grassmann número de incluir un signo?

Question

Tomar una real Grassmann variable, con lo que quiero decir $\theta=\theta^*$. Tenemos

$$\int d\theta~ \theta =1,\qquad \frac{\partial}{\partial\theta}\theta=1$$

Si defino la conjugación de variables de Grassmann a invertir su orden, $$(\eta\theta)^*= \theta^*\eta^*,$$ should I then have $$(d\theta\theta)^*=\theta^*d\theta^*~?$$ Pero esto significa

$$(\int d\theta~\theta)^*=1 \quad \Rightarrow \quad\int \theta^* d\theta^*=-\int d\theta^* ~\theta^*=1,$$

así que si $\theta=\theta^*$, debería haber $$d\theta^*=-d\theta.$$ The same can be found for the derivative of $\theta$.

Es esta la costumbre, convención, o debería optar $$(d\theta \theta)^*=d\theta^* \theta^*~?$$

Answer 1

Sí. OP es el adecuado. Hay un signo menos. Ya por la convención de la compleja conjugación obedece

$$ (z w)^{\ast} ~=~ w^{\ast}z^{\ast}~=~(-1)^{|z|~|w|} z^{\ast}w^{\ast} \tag{1}$$

para cualquiera de los dos supernumbers $z$, $w$ (definitivo de Grassmann paridades $|z|$,$|w|$), también debemos tener

$$ (A f)^{\ast} ~=~(-1)^{|A| ~|f|} A^{\ast}f^{\ast} \tag{2}$$

para un operador $A$ y una función de $f$, cf. por ejemplo, Refs. 1 y 2. Eq. (2) se reduce a la ecuación. (1) si $A$ es una izquierda operador de multiplicación. Es fácil comprobar que la eq. (2) implica que$^{1}$

$$ \left(\frac{\partial_L}{\partial z}\right)^{\ast}~\stackrel{(2)}{=}~ (-1)^{|z|} \frac{\partial_L}{\partial (z^{\ast})}.\tag{3}$$

Desde Berezin la integración es el mismo que a la izquierda de la diferenciación

$$ \int \!d\theta ~=~\frac{\partial_L}{\parcial \theta}, \qquad \int \!d\theta^{\ast} ~=~\frac{\partial_L}{\partial (\theta^{\ast})},\etiqueta{4} $$

que se derivan de que el complejo de la conjugación de Grassmann-impar diferenciación produce una menos

$$ \left( \int \!d\theta \right)^{\ast} ~\stackrel{(4)}{=}~\left(\frac{\partial_L}{\parcial \theta}\right)^{\ast} ~\stackrel{(3)}{=}~-\frac{\partial_L}{\partial (\theta^{\ast})} ~\stackrel{(4)}{=}- \int \!d\theta^{\ast}.\la etiqueta{5} $$

Referencias:

1. B DeWitt, Supermanifolds, Cambridge Univ. Press, 1992; eq. (2.2.19).

2. S. J. Puertas, M. T. Grisaru, M. Rocek & W. Siegel, Superspace, o las mil y Una lecciones de la supersimetría, arXiv:hep-th/0108200; eq. (3.1.9).

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$^{1}$ El subíndice $L$ ($R$) denota a la izquierda (a la derecha), la diferenciación, es decir, de la actuación de la izquierda (a la derecha), respectivamente. La integridad, señalemos que a la izquierda y a la derecha de la diferenciación están conectados a través de la fórmula

$$ \frac{\partial_L f}{\partial z}~=~(-1)^{(|f|+1)|z|}\frac{\partial_R f}{\partial z},\tag{6} $$

de modo que el complejo conjugación satisface

$$\left(\frac{\partial_L}{\partial z}\right)^{\ast}f~\stackrel{(3)+(6)}{=}~ (-1)^{|z||f|} \frac{\partial_R f}{\partial (z^{\ast})}, \qquad \left(\frac{\partial_R}{\partial z}\right)^{\ast}f~\stackrel{(3)+(6)}{=}~ (-1)^{|z||f|} \frac{\partial_L f}{\partial (z^{\ast})}.\tag{7} $$