Problema en la comprensión de la solución exacta de la diferencial de $M(x,y)dx + N(x,y)dy = du(x,y)$.

Question

Si $M(x,y)dx + N(x,y)dy = du(x,y)$, entonces es exacta la ecuación diferencial. Para que eso suceda, $$\left(\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}\right)_x =\left(\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}\right)_y \tag1.$$

Yo estaba siguientes Ecuaciones Diferenciales por Balachandra Rao, S. Personal para ver cómo encontrar $u(x,y)$. Para la mayoría de la parte, pero uno, que yo pudiera concebir.

La prueba va usando la primera parte de la $(1)$ después de integrar para obtener $$u(x,y) = \int M(x,y) dx + \phi (y).$$ In order to satisfy the second condition of $(1)$, there exists a certain $\phi (y)$. So, $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx\right]+ \phi'(y)$$ which must be equal to $$N(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx\right]+ \phi'(y) \implies \phi'(y) = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx\right] .$$ LHS is independent of $x$; so RHS must also be independent of $x$; in order to verify this, we take the partial derivative of RHS w.r.t. $x$ : $$\frac{\partial}{\partial x} \left[N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx\right]\right] = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} -\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}= 0.$$ So, RHS is independent of $x$. Then by integrating, we get $$\phi(y) = \int\left[N(x,y) -\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right] \right]dy + C .$$ Putting the value of $\phi(y)$, we get $$u(x,y) = \int M(x,y) dx + \int\left[N(x,y) -\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right] \right]dy.$$ This is the value of $u(x,y)$ .

Pero el libro presenta el trabajo de la regla como

Un "trabajo la regla" conveniente aplicar para la solución exacta de la ecuación diferencial es de la siguiente manera: $$\underset{[y\; \text{const.}]}{\int M dx} + [\color{red}{\text{Terms of} \; N\; \text{not containing} \; x}] dy = c$$

Ver la marcada en rojo declaración; $M(x,y)$ no está allí, pero en la derivación de los paréntesis figuran $\dfrac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right] $. Como si fue excluido en el trabajo de la regla, sin especificar ninguna razón. Si se me rompe $$\int\left[N(x,y) -\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right] \right]dy$$ into $$\int N(x,y) dy - \int \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right] dy$$, then I get $$\int N(x,y) dy - \frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right].$$ The second term $$-\frac{\partial}{\partial y}\left[\int M(x,y) dx \right]$$ está ausente en la red-marcado la declaración. ¿Cuál es la razón de su exclusión ? Por favor, ayudar.

Answer 1

Creo

$$\int N(x,y)dy$$

aún contendrá $x$ porque $N$ es una función de $x$$y$. Pero si se combina con

$$−\dfrac{∂}{∂y}\left[\int M(x,y)dx\right]$$

los términos que contengan $x$ podría cancelar de manera que:

$$\left[ N(x,y) −\dfrac{∂}{∂y}\left[\int M(x,y)dx\right]\right] = f(y)$$ which would be free from $x$; mientras que

$$\left[ M(x,y) −\dfrac{∂}{∂x}\left[\int N(x,y)dy\right]\right] = f(x)$$ estarían libres de y.

Soy nuevo en este tema pero estoy tratando de hacer mi mejor esfuerzo para entenderlo..

Por eso he venido a este sitio

Dice aquí:

Fórmula para la solución general de la ecuación exacta $M dx + N dy = 0$. La solución general está dada por $$\int M ∂x + \int f(y)dy = C$$

donde $f(y)$ está compuesto de todos los términos en $N$ libre de $x$ (es decir, todos los términos que no contienen $x$ - términos que contengan $y$ o constantes) y $\int M ∂x$ denota integración con respecto a la $x$, manteniendo $y$ constante.

Fórmula alternativa: $$\int N ∂y + \int f(x)dx = C$$

donde $f(x)$ está compuesto de todos los términos en $M$ libre de $y$.

Las fórmulas de arriba va a dar el resultado correcto en la gran mayoría de los casos, pero no son infalibles y, en casos excepcionales, puede dar un resultado incorrecto. En consecuencia, la solución debe estar siempre activada, sustituyendo en la ecuación original.