Es el determinante de una matriz de Lipschitz continua?

Question

Quiero saber si el determinante de una matriz es Lipschitz continua o no.

Para ser más precisos, ¿existe un constante $K$ tal que

$|\det(A)-\det(B)|\leq K||A-B||_F$,

para todas las matrices $A,B\in \mathcal{C}^{n\times n}$?

Si la respuesta es no, entonces, ¿cómo ser Hölder continua?

Qué $|\det(A)-\det(B)|\leq K||A-B||_F^\alpha$ mantener para algunas constantes $K$$\alpha$?

Alguien me puede ayudar en esto? Gracias de antemano!

Answer 1

En el caso de $n = 1$, el factor determinante es la identidad, y por lo tanto globalmente Lipschitz continua.

Para $n > 1$, el factor determinante no es globalmente $\alpha$-Hölder continua para cualquier $\alpha \in (0,1]$, desde

$$\lvert \det (r\cdot I) - \det (0\cdot I)\rvert = \lvert r^n\rvert = \lVert I\rVert_F^{-1}\cdot\lvert r\rvert^{n-\alpha}\cdot \lVert r\cdot I - 0\rVert_F^\alpha,$$

y $\lvert r\rvert^{n-\alpha}$ es ilimitado.

El factor determinante es, sin embargo, un polinomio en las entradas de la matriz, y por lo tanto continuamente diferenciable en todas partes, y que implica que es localmente $\alpha$-Hölder continuo para todos los $\alpha\in (0,1]$, en particular localmente Lipschitz continua.

Answer 2

Una conexión entre el determinante y la norma de Frobenius se deriva del hecho de que $|\det A|$ es el volumen de la semilla a $A[0,1]^n$ y que este es menor que el volumen de una caja rectangular, con las mismas longitudes de los lados.

Si $A$ tiene columnas $A=(a_1,a_2,..., a_n)$ $$ |\det(A)| \le \|a_1\|\,\|a_2\|\,....\,\|a_n\| \le \left(\frac{\|a_1\|^2+\|a_2\|^2+....+\|a_n\|^2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} = \left(\frac {\|\|_F^2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} =\frac {\|\|_F^n}{n^{n/2}} $$