Cómo construir entero polinomio de grado $n$ que se lleva a $n$ veces el valor de $1$ $n$ veces el valor de $-1$ (en números enteros puntos)

Question

La pregunta es, como en el título:

Para un entero positivo $n$ I se desea construir un polinomio $w(x)$ grado $n$ con coeficientes enteros tales que no existe $a_1<a_2<\cdots<a_n$ (números enteros) que satisface $w(a_1)=w(a_2)=\cdots=w(a_n)=1$ $b_1<b_2<\cdots<b_n$ (también números enteros) que satisface $w(b_1)=w(b_2)=\cdots=w(b_n)=-1$.

No estoy seguro de si tal polinomio incluso existe para cada $n$.

EDIT: $a_i, b_i$ no están predeterminadas, como alguien mencionó en un comentario.

Answer 1

Esto no es posible por $n>3$. De hecho, no es posible encontrar un grado-$n$ polinomio $w(x)$ ha $n$ diferentes entero raíces de $w(x)=1$, e incluso una raíz entera (es decir $b$)$w(x)=-1$. Esto es debido a que, si $a_1,...,a_n$ son las raíces de $w(x)=1$, $w(x)-1=c(x-a_1)...(x-a_n)$, donde $c$ es un número entero. Por lo tanto $w(b)-1$ $c$ veces un producto de $n$ diferentes números enteros, y ya que en la mayoría de los dos de estos puede ser $\pm 1$, y todos los demás tienen valor absoluto, al menos, $2$ si $n>3$ $w(b)-1$ no puede igualdad de $-2$ -- debe tener valor absoluto, al menos,$2^{n-2}$.

[editar] En realidad lo que pidió que no es posible para$n=3$. Para $w(b)-1=-2$ tener una solución debemos tener $(b-a_1)(b-a_2)(b-a_3)=-2$, por lo que los tres términos se $-1,+1,+2$. Pero si esos son los tres términos, el orden se determina, por lo que hay una solución para $b.$ es posible para $n=2$: tome $w(x)=x^2-3x+1$. A continuación, $w(x)=1$ tiene dos soluciones $x=0,3$ $w(x)=-1$ tiene dos soluciones $x=1,2$.

Answer 2

$\newcommand{\Size}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$$\newcommand{\Set}[1]{\left\{ #1 \right\}}$Sólo para complementar la excelente respuesta (+1), si $n = 1$ $$ w(x) = C (x - a_{1}) + 1, $$ y $$w(b_{1}) = C (b_{1} - a_{1}) = -2,$$ así que hay una solución iff $b_{1} - a_{1} \in \Set{\pm 1, \pm 2}$.

Si $n = 2$ $$ w(x) = C (x - a_{1})(x - a_{2}) + 1, $$ y la necesidad de $$ C (b_{1} - a_{1})(b_{1} - a_{2}) = -2, C = (b_{2} - a_{1})(b_{2} - a_{2}), $$ y hay soluciones, por ejemplo, para $$\etiqueta{uno} b_{1} = a_{1} + 1 = a_{2} - 2, $$ de modo que $a_{2} = a_{1} + 3$ y $$\etiqueta{dos} b_{2} = a_{1} + 2 = a_{2} - 1, $$ decir $a_{1} = 0, a_{2} = 3, b_{1} = 1, b_{2} = 2$, y, a continuación,$C = 1$.

En realidad, para el caso de $n = 2$ hemos $$ a_{2} - a_{1} = \{a_{2} - a_{1}} \le \{b_{1} - a_{1}} + \{b_{1} - a_{2}} \le 3, $$ así que creo que el general de condiciones para la existencia de una solución son, de hecho, () y (dos).