Funcional de la ecuación de $f'(t) = f(t + p)$

Question

Por un determinado valor real de $p$, lo que se puede decir sobre el conjunto de soluciones de la ecuación funcional

$$f'(t) = f(t + p)?$$

Estoy interesado en las respuestas para ambas real y complejo, con valores de $f$.

Obviamente, las soluciones forman un espacio vectorial, y sé que $f(t) = e^{\alpha t}$ $f(t) = e^{\overline{\alpha} t}$ son soluciones siempre $\alpha$ satisface $e^{p\alpha} = \alpha$. Por ejemplo,$p = \pi/2$$\alpha = i$, nos encontramos con que cualquier combinación lineal de $\sin t$ $\cos t$ es una solución.

Puede explícita fórmulas para las soluciones de (tal vez, si es necesario, con parámetros constantes que no pueden ser expresadas en una forma elemental)?

Edit: La respuesta a la pregunta duplicada reclamaciones que los enlaces de MO responder a la pregunta. Sin embargo, como lo que yo puedo decir, que de respuesta similar, pero sustancialmente diferente, preguntas.

Edit: después de Haber leído la información vinculada, creo que lo más sobresaliente pregunta aquí es: ¿Qué tipo de "condición inicial" garantizaría la existencia y unicidad de una solución se define para todas las $t \in \mathbf{R}$? Y la respuesta es diferente dependiendo de si desea $t \in \mathbf{R}$ o, digamos, $t \in (0,+\infty)$? Esta información es, al menos para mí, no es fácil de extraer, a partir de las respuestas dadas a las otras preguntas, que fueron ciertamente similar a la mía.

Answer 1

En esta respuesta estoy considerando sólo $f : \mathbb R \to \mathbb R$.

A mí me parece que $f(t)$ $0 \leq t < p$ (asumiendo $p > 0$) únicamente determina $f$ todos los $t$. Si $f(t)$ está dado por $0 \leq t < p$ $f$ suave en este rango, entonces tenemos $$f(t) = f'(t - p)$$ for all $t \in [p, 2p)$, so then $f'(t) = f"(t - p)$ is defined on $[p, 2p)$, lo que nos da $$f(t) = f'(t - p) = f''(t - 2p)$$ para todos los $t \in [2p, 3p)$, etc.; Creo que vamos a terminar con $$f(np + t) = f^{(n)}(t)$$ para $n \geq 0$ un entero y $t \in [0, p)$. Va a negativos $t$, tenemos $$f'(t) = f(t + p)$$ para $t \in [-p, 0)$, y desde $f$ es suave en $[0, p)$, en particular, es continua allí, así que, a continuación, $f$ es único, definido por (por ejemplo) una integral de Riemann $$f(t) = \int_{-p}^t f'(u + p) du + C$$ para $t \in [-p, 0)$, y elegimos $C$, de modo que $f$ es continua en a $0$. Podemos seguir ampliando $f$ a la izquierda int esto de la moda, siempre definiendo $f(t)$ por la integral de Riemann de la "rebanada" de la derecha y la adición de una constante por lo que el $f$ sigue siendo continua en la múltiplos enteros de $p$.

Por lo tanto $f$ está definida únicamente por sus valores en $[0, p)$, y debe ser suave no.

Por el contrario, si $f : \mathbb R \to \mathbb R$ satisface $f'(t) = f(t + p)$ todos los $t$, entonces, por la ecuación de $f(np + t) = f^{(n)}(t)$ anterior, vemos que $f$ debe tener derivados de todos los pedidos en $[0, p)$, y, por supuesto, sus valores en $[0, p)$ está definida de forma única.

De modo que el espacio de funciones de $f : \mathbb R \to \mathbb R$ satisfacción $f'(t) = f(t + p)$ todos los $t$ es isomorfo al espacio de las funciones lisas $g : [0, p) \to \mathbb R$, un infinito-dimensional espacio vectorial.