Complejo Integral utilizando los Residuos

Question

Esta es la pregunta:

Encontrar la integral usando el teorema de los residuos.

$$\int_0^{2\pi}{d\theta \over1+8\cos^2\theta} $$

He resuelto así :

$$\int_0^{2\pi}{d\theta \over1+8\cos^2\theta}=\int_0^{2 \pi} {d\phi \over 5+4\cos\phi} $$

el uso de $$2\cos^2\theta=\cos 2\theta+1 \quad\quad and \quad 2\theta=\phi$$

Entonces tomé $z=e^{i\phi}$ , por lo que th integral se convierte ahora en :

$$\int_C {1 \over (2z^2+5z+2)} {dz \over iz} \quad c:|z|=1$$

Ahora, usando el teorema de los residuos en los polos obtener la respuesta como $$4\pi \over 3$$

Por favor alguien puede verificar que

Answer 1

Alternativamente, usted puede escribir

$$\cos^2{\theta} = \frac14 \left ( e^{i \theta} + e^{-i \theta}\right )^2$$

para terminar con

$$-i \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac1{1+2 (z^2+2 + z^{-2})} = -i \oint_{|z|=1} dz \frac{z}{2 z^4+5 z^2+2}$$

Ahora, si lo desea, puede sub $\zeta=z^2$ (lo cual está bien porque al$|z|=1$$|\zeta|=1$), y obtener

$$-i \frac12 \oint_{|z|=1} \frac{dz}{2 z^2+5 z+2}$$

así que si usted hizo el residuo de cálculo a la derecha, que son por un factor de $1/2$.