Es la media armónica el estimador de máxima verosimilitud para algunos comunes continua de la distribución del parámetro?

Question

Si $y$ es un vector de datos continua la media aritmética es el estimador de máxima verosimilitud para $\mu$ cuando asumiendo $y \sim \text{Normal}(\mu,\sigma)$ (no de forma exclusiva, por supuesto). La media geométrica es el estimador de máxima verosimilitud de $\mu$ cuando asumiendo $y \sim \text{Log-Normal}(\mu,\sigma)$. Del mismo modo, es la media armónica el estimador de máxima verosimilitud para un parámetro de algunos comunes de distribución?

Answer 1

Esto sucederá en el recirpocal de una variable aleatoria siguiendo una distribución Exponencial.

Deje $X$ sigue una distribución Exponencial con una función de densidad de probabilidad

$$f_X(x) = \alpha e^{-\alpha x}$$

Considere la posibilidad de $$ Y = \frac 1{X} \Rightarrow X = 1/Y \Rightarrow \frac{\partial X}{\partial Y} = -Y^{-2}$$

Entonces

$$f_Y(y) = \left|\frac{\partial X}{\partial Y}\right|\cdot f_X(1/y)= \alpha y^{-2}e^{-\alpha/y},\;\; y\in (0,\infty)$$

El logaritmo de la probabilidad de una muestra de $n$ observaciones serán

$$\ln L = n\ln\alpha -2\sum_{i=1}^n\ln y_i -\alpha \sum_{i=1}^n(1/y_i)$$

y

$$\frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \frac n{\alpha}-\sum_{i=1}^n(1/y_i) = 0 \Rightarrow \hat \alpha_{ML} = \frac n{\sum_{i=1}^n(1/y_i)}$$

cual es la media armónica de las $y$'s.