Porción Visible de la Superficie de la Tierra

Question

EDIT: necesito ayuda para convertir el lado derecho a una función de h

Deje $A_h$ ser el área de la zona correspondiente a la altura h. Si establecemos una rectangular coordinar syustem con el origen en el centro de la Tierra esférica con radio R, y si la superficie de la tierra se obtiene por la rotación de la curva de $x = g(y), y_B \le y \le y_E$ sobre el eje de las y, a continuación, el área de la superficie está dada por $$A_h = 2\pi \int_{yb}^{ye} g(y) \sqrt{1+[g'(y)]^2} dy$$ 1. Derive a formula for the observable area $A_h$ como una función de la altura h por encima de la superficie de la Tierra.

Bueno, pues he estado mirando este problema por un par de días y ahora estoy teniendo problemas para derivar esta ecuación basada en la imagen. Yo sé que tengo que girar en la curva de $CE$ alrededor del eje y, pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar lo que la ecuación será. Sé que esto tiene que ver con el horizonte y tal, y la ecuación de la recta $$CD = \sqrt{h(2R+h)}$$ I also know the $$\sqrt{1+[g'(y)]^2}$$es un arclength

Yo estoy muy confundido porque sé que una vez que me conecte todos estos números en voy a tener una constante y la integración de una constante es simplemente la suma de (en este caso) y el resultado y, a continuación, conectar en los límites. Una vez que se encuentra esta ecuación que tiene la respuesta para el resto de estos problemas.

(Primer post, lo siento si este no es muy clara, toda la ayuda es muy apreciada)

Answer 1

Enfoque Geométrico

En esta respuesta, se muestra que el área de la franja verde en la esfera es la misma que el área de la red de la proyección en el cilindro de delimitar el ámbito y compartir su eje con la franja verde.

Podemos calcular la altura de la tapa usando triángulos semejantes:

Así, el área de la tapa es de $$ 2\pi R\frac{Rh}{R+h}=\frac{2\pi R^2h}{R+h} $$

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Cálculo De Enfoque

Debido a $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac xy$, tenemos

$$ \begin{align} \int_0^{\frac{R}{R+h}\sqrt{2Rh+h^2}}2\pi x\sqrt{1+x^2/y^2}\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\frac{R}{R+h}\sqrt{2Rh+h^2}}2\pi R \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\,\mathrm{d}x\\ &=-2\pi R\left[\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{\frac{R}{R+h}\sqrt{2Rh+h^2}}\\[6pt] &=\frac{2\pi R^2h}{R+h} \end{align} $$

Answer 2

La suma de las secciones de $A_h$ se parece mucho a la de apilamiento incremental de los más pequeños aros de cebolla y la suma de las áreas de superficie de sus exteriores.

^{una muy diestros boceto de una pila de anillos de cebolla en la forma de la corteza terrestre}

Tenemos el área de la superficie de un aro de cebolla tomando la longitud de su oblicuidad $\ell$ y multiplicando por $2\pi r$, como si se "desenrolla" es y calcula el área del rectángulo resultante.

Se fueron derecho al reconocimiento de la longitud de arco de la fórmula-que es exactamente lo $\ell$ es de: a longitud de arco parametrizado por $x$$y$. También pudimos ver a este mediante la ruptura de la corteza de la Tierra en pequeñito-minúsculo derecho de triángulos, donde la hipotenusa mide la longitud $d\ell =\sqrt{dx^2+dy^2}$. Sin embargo, $g(y)$ horizontal de la pieza que vamos a romper en pequeños incrementos, no $x$.

Puesto que usted ya sabe las variaciones de la longitud de arco de la fórmula, vamos a pasar directamente a $$d\ell=\sqrt{1+\left(\frac{dg}{dy}\right)^2}\,dy =\sqrt{1+\left[g'(y)\right]^2}\,dy$$

A continuación, para obtener el área de la superficie exterior de cada anillo, se multiplica por $2\pi r$, tal como si se tratase de un rectángulo de altura $d\ell$ y la longitud de la $2\pi r$. El radio de cada anillo está dado por $g(y)$. Esto nos lleva de a $$dA_h=2\pi\,g(y)\,\sqrt{1+\left[g'(y)\right]^2}\,dy$$

Por último, vamos a añadir esta incremental áreas para todos los pequeños anillos de entre $y_B$$y_E$. Por suerte, nuestra variable de integración es ya $y$!

$$\begin{align} \int dA_h &= \int_{y_B}^{y_E} 2\pi \,g(y)\,\sqrt{1+\left[g'(y)\right]^2}\,dy \\ A_h &= 2\pi\int_{y_B}^{y_E} g(y)\,\sqrt{1+\left[g'(y)\right]^2}\,dy \\ \end{align}$$

Voilà!

Apéndice: yo también recomiendo investigar el cálculo basado en la derivación de la fórmula para el área de la superficie de un círculo y/o la fórmula para el área de la superficie de un cono.

Answer 3

Dado que usted ya sabe que usted puede utilizar la fórmula

$$A_h = 2\pi \int_{y_B}^{y_E} g(y) \sqrt{1+[g'(y)]^2} dy,$$

usted tiene que averiguar lo siguiente:

• Exactamente ¿cuál es la fórmula para $g(y)$ en este problema en particular?
• ¿Cuál es la solución de la integral?
• Cómo es el resultado de una función de $h$?

Considere la integral. Usted sabe $g(y)$ tiene que ser el particular, la función que describe el círculo en la figura, y que $g'(y)$ es la derivada de esa función, la cual se puede determinar cuando usted sabe exactamente lo $g(y)$ es. Así que la única variabilidad a la derecha del signo integral es la variable $y,$, con lo cual desaparecen cuando se han resuelto completamente la integral indefinida y enchufado en los límites de la integral definida.

A la izquierda del signo integral ha $2\pi,$ que es una constante. El límite superior es$y_E,$, lo que usted debe saber es la longitud del segmento de $AE,$ en otras palabras, $y_E = R,$ otra constante (ya que suponemos que la Tierra no crecen o se encogen mientras tratamos diferentes valores de $h$).

La única cosa a la izquierda en el lado derecho que no está completamente determinado que es el símbolo de $y_B,$ que es igual a la longitud de la $AB,$ que hace variar como $h$ varía. Hay un par de maneras diferentes que usted puede acercarse a este. Trigonometría funciona si estás cómodo con él. También puede utilizar el hecho de que $\triangle ABC$ es similar a $\triangle ACD.$ Usted conoce la hipotenusa de $\triangle ABC$ y la necesidad de una de sus piernas, es decir, $AB.$ Para cualquier valor dado de a $h$ usted puede encontrar la hipotenusa de $\triangle ABC$, y sabe de sus piernas.

Así que usted debe ser capaz de escribir $y_B$ como una función de la $h,$ $$ y_B = AB = f(h).$$

Pero usted todavía tendrá que escribir la fórmula correcta para $g(y),$ encontrar $g'(y),$ y encontrar la solución de la integral definida $\int_{y_B}^{y_E} g(y) \sqrt{1+[g'(y)]^2} dy$ con el fin de ser capaz de "resolver" $A_h$ como una función de la $h.$

Así que tenemos algo de trabajo que hacer. Esto no se hace por fijamente.